2019春吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷(文科)

利用配方法，求出P，Q的轨迹，结合两点斜率公式得到 的几何意义为PQ的斜率，利用数形结合得到斜率的最大值和最小值对应两圆的内公切线，结合直线和圆相切的等价条件求出斜率即可．

本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，利用两点斜率的几何意义，转化为求出两圆内公切线斜率问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】57

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=3x+6y得y=- x+ z，

平移直线y=- x+ z，由图象知当直线y=- x+ z经过点A直线的截距最大，此时z最大， 得A（3，8）， 由

3+6×8=57， 代入z=3x+6y得z=3×

故答案为：57．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键． 14.【答案】x-2y-5=0

22

【解析】解：根据题意，圆x+y=5的圆心为（0，0），半径r= ，点（1，-2）在圆上，

设点（1，-2）为M，则kOM=-2， 则切线的斜率k=- = ，

则切线的方程为y+2= （x-1），变形可得x-2y-5=0；

故答案为：x-2y-5=0．

根据题意，分析可得点（1，-2）在圆上，设点（1，-2）为M，求出直线OM的斜率，即可得切线的斜率，据此分析可得答案．

本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=an+1-1，① 当n≥2时，2Sn-1=an-1，② ①-②得：2an=an+1-an， 整理得：an+1=3an， 即：

，

所以数列{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列． 故： ， 当n=1时，a1=1（符合首项），

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故： ， 所以： 故答案为：

，

．

首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

16.【答案】

【解析】解：根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC， 可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球， ∵△ABC是边长为2的正三角形， ∴△ABC的外接圆半径r= ，

∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R= = ，

2

故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR= π

故答案为： π

由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R= ，可得球的半径R

本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，利用半径公式R= ，是解答的关键．

17.【答案】解：（I）由a（a-1）-2=0，解得a=2或-1．经过验证a=2时两条直线重合，

舍去．∴a=-1．

（II）a=1时，两条直线不垂直，舍去． a≠1时，由l1⊥l2时，∴- × =-1，解得a= ．

【解析】（I）由a（a-1）-2=0，解得a=2或-1．经过验证即可得出．

=-1，解得a． （II）a=1时，两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由l1⊥l2时，∴- ×

本题考查了相互平行垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题．

18.【答案】解：（Ⅰ）AB的中点为（0，-4），直线AB的斜率为

∴线段AB的中垂线方程为y=-2x-4，即2x+y+4=0．

= ，

联立方程组 ，解得x=-1，y=-2，即所求圆的圆心M（-1，-2），

∴圆的半径 ，

22

∴圆M的方程为（x+1）+（y+2）=10．

22

（Ⅱ）设圆N的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，

∵圆N过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，1），

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∴列方程组得 解得D=-2，E=2，F=-3，

22

∴圆N的方程为x+y-2x+2y-3=0．

【解析】（I）求出AB的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，计算圆的半径，从而得出圆的方程；

（II）利用待定系数法求出圆的方程． 本题考查了圆的方程求解，属于中档题．

19.【答案】解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OM，

由底面ABCD是棱形，知O是BD的中点， 又M是BP的中点，∴OM∥DP．

又∵OM?平面ACM，DP?平面ACM， ∴PD∥平面ACM．

（2）解：取AB中点E，连接ME，CE， ∵M，E分别为PB，AB的中点，∴ME∥PA， ∵PA⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD， ∴直线CM与平面ABCD所成角为∠MCE，

∵ME= PA= ，CE= ，

∴tan∠MCE= = ．

∴直线CM与平面ABCD所成角的正切值为 ．

【解析】（1）连接BD，交AC于点O，连接OM，则OM∥DP．由此能证明PD∥平面ACM．

（2）取AB中点E，连接ME，CE，直线CM与平面ABCD所成角为∠MCE，由此能求出直线CM与平面ABCD所成角的正切值．

本题考查线面平行，考查线面角的正切值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由题意，得

解得

所以

（2）由（1）得 ，

，

，

∴ ，

∴

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．

【解析】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力． （1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式． （2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可． f=Q+（1）依题意得，（x）（x）21.【答案】解（2）f（x）=50x+当且仅当50x=

=50x+

+3 000x∈N*）（x≥12，，

+3 000≥2 +3 000=5 000（元）．

，即x=20时上式取“=”．

因此，当x=20时，f（x）取得最小值5 000（元）．

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层， 每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．

【解析】（1）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，由平均建筑费用Q（x）=3000+50x，我们易得楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

（2）由（1）中的楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式，要求楼房每平方米的平均综合费用最小值，利用基本不等式，再求最小值．

函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

22.【答案】解：（1）由题意得 ，

22

化简可得：（x+2）+y=4，

22

∴动点M的轨迹方程为（x+2）+y=4．

曲线C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆； （2）①当直线l斜率不存在时，x=1，不成立；

②当直线l的斜率存在时，设l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，

圆心C（-2，0）到l的距离为d= ， ∵|EF|= = ∴

，

，

2

即29k-60k+4=0，

解得k=2或k= ，

∴l的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0； （3）证明：∵P在直线x+y+8=0上， ∴可设P（m，-m-8），

∵C′（-2，0）为曲线C的圆心， 由圆的切线的性质可得PG⊥GC′，

∴经过G，P，C′的三点的圆是以PC′为直径的圆， 则方程为（x+2）（x-m）+y（y+m+8）=0，

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