双摆自学笔记

两个自由度保守体系的自由振动

对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2，体系做自由微振动，广义坐标为x1,x2。由拉格朗日方程可得：

?T?V?d?T()???0??1?dt?x?x1?x1，接下来关键就是设法将动能T、势能V表示成关于x1,x2?d?T?T?V?()???0??dt?x?x?x222?的函数，再将其代入上述方程中即可得到体系的线形运动微分方程。 一：动能T、势能V的表达式. 1. 动能T、势能V的一般表达式.

??r12当体系受稳定约束时，T?T2??Ai,jx。由于体系在?ix?j，其中Ai,j?m2i,j?1?xi?xj平衡位置附近的微振动均可看成是受稳定约束，所以有：

12?12?2A12x?1x?2?A22x?2T?(A11x)2

①

?1,x?2无关，因而可得V?V(x1,x2)。下面就是设法因势能V仅与x1,x2有关，与x将动能T、势能V的一般表达式化简为所需的形式即可。 2. 动能T、势能V表达式的化简.

取平衡位置为广义坐标x1,x2的零点，将V、T在平衡位置展开成泰勒级数可得：

2?V1?2V V(x1,x2)?V(0,0)??()0xi??()0xixj?(??)

?x2?x?xi?1i,j?1iij2②

Ai,j(x1,x2)?Ai,j(0,0)??(i?12?Aij?xi)0xi?...

③

（1）势能V ：对于②式，令V(0,0)?0且因体系在平衡位置时有(去

(??)?V)0?0，略?xi等

xi的高次项后可得：

1?2V1?2V?2V1?2V22 V(x1,x2)??()0xixj?(2)0x1?()0x1x2?(2)0x22?x?x2?x?x?x2?xi,j?1ij1122212?V(x1,x2)?(b11x12?2b12x1x2?b22x2)2

④

?2V其中bi,j?()0?bj,i?C，④式即为所求的势能V化简后的表达式。

?xi?xj?应为同阶小量，而①式中T已为二次式，（2）动能T ：对于③式，考虑到x,x所以Ai,j(x1,x2)只要取零次式即可，即有Ai,j(x1,x2)?Ai,j(0,0)?aij，这样动能可表示为：

1212?1,x?2)??aijx?ix?j?(a11x?12?2a12x?1x?2?a22x?2T(x)2i,j?12⑤

其中a11,a12,a22均为常数，⑤式即为所求的动能T化简后的表达式。

二：体系的运动微分方程及其解

1.运动微分方程：将④、⑤式代入化简后可得

?1?a12??2?b11x1?b12x2?0xx?a11???1?a22??2?b21x1?b22x2?0xx?a21?⑥

2.方程的解.

（1）试探解及久期方程：对于⑤式在物理学中常用取试探解的方式求解，即令

?x1?A1sin(?t??)方程的试探解为? ⑥，两端对时间求导后可得

?x2?A2sin(?t??)???1??A1?2sin(?t??)x?2??x??A?sin(?t??)2?2

，将以上两式代回⑤式得：

?A1(b11?a11?2)?A2(b12?a12?2)?0 ⑦ ?22A(b?a?)?A(b?a?)?022222?22122要使⑦有解，首先应使A1、A2有实数解，这要求的系数所构成的行列式必须为

b11?a11?2b12?a12?22222零，即?0?(b?a?)(b?a?)?(b?a?)?0 11112222121222b21?a22?b22?a22?⑧

⑧式被称为久期方程或频率方程，它是关于?2的一元二次方程。 （2）久期方程的两个正根：

可以证明久期方程必有两个正根，只有这样求出的?为实数才有实际的物理意义。

证明：因V(0,0)?0，当x1,x2不同时为零时，应有V(x1,x2)?V(0,0)?0。

12)?0，由V(x1,x2)?(b11x12?2b12x1x2?b22x2令x1?0?b22?0，同理可得b11?0，

2另外可将V表达式改写为V(x1,x2)?12[(b12x1?b22x2)2?(b11b22?b12)x12]， 2b122要使上式恒大于零，必须有b11b22?b12?0 2?1,x?2)?0可以证明a11?0,a22?0且a11a22?a12同理因T(x?0

接着可做出

f(?2)~?2的函，

数图当

象，其时

中，

f(?2)?(b11?a11?2)(b22?a22?2)?(b12?a12?2)2?2?0222f(0)?b11b22?b12?0；????时，f(??)??4(a11a22?a12)?0；

当

?2?b11a11时，

f(b11b)??(b12?a1211)2?0a11a11；当

?2?b22a22时，

f(b22b)??(b12?a1222)2?0。 a22a22由以上讨论可知，函数f(?2)在?2?0及??之间有两次穿过横轴，也就是方程必然有两个正根。其实，从前两式出发，利用x1?x2??直接判定该方程有两个正根。 （3）运动微分方程的特解和通解

22 设方程的两个根分别为?12,?2，分别将?12,?2代入⑦式中的任一个可得：

bc?0,x1?x2??0就可aa

(1)A2a11?12?b11(1)???2A1(1)b22?a22?12，

(2)2A2a11?2?b11(2) ???2(2)2A1b22?a22?2⑨

(1)(1)(1)(2)(2)(2)即有A2??2A1，A2??2A1。令为A1(1),A1(2)分别为试探解⑦式中x1的振

幅，

则运动微分方程的特解为：??x(1)1?A1sin(?1t??)?x??(1)(1)22A1sin(?1t??)??x1?A(2)1sin(?2t??)?x??(2)(2)。 22A1sin(?2t??)根据线性微分方程的理论，方程的通解应是两组特解的线性组合，即有

x(1)(2)1?c1x1?c2x1?c(1)1A1sin(?1t??1)?c(2)2A1sin(?2t??2)?x?(1)sin(?2)1?A11t??1)?A1?(sin(?2t??2) 同理可得x(1)2??2A1?(1)sin(?(2)(2)1t??1)??2A1?sin(?2t??2) 式中A1?(1),A1?(2),?1,?2为常数，由初始条件x1(0),x2(0)及x?1(0),x?2(0)决定。 （4）应用.

自由度为2的双摆，求周期。（摆长为l,l，摆的质量都为m）

T?ml2??212?ml2[??21???22?2??1??2cos(?1??2)]2 V??mglcos?1?mgl(cos?1?cos?2)

在微振动条件下：

L?T?V?122ml[2??21???22?2??1??2]?12mgl[2?21??22] ??2???1????2?2?20?1?0????????2,?2g0? 1??20?2?0l设两个解为?，? 且??Aei?t,??Bei?t

?2??22?0????A??2?B?0???2A??22 0??B?0则解出?2???2?1?2?20,B?1A?1??2

及

22?2?2?2?0,B?2?A?2???2

??