2017年广东省中山市九年级上学期数学期末试卷【答案版】

∴，

在Rt△ABC中，AB=BC， 有AC2=AB2+BC2， ∴2AB2=AC2， ∴

=

．

．

故正方形ABCD的边长为

24．（9分）将一条长度为40cm的绳子剪成两段，并以每一段绳子的长度为周长围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，那么这段绳子剪成两段后的长度分别是多少？

（2）求两个正方形的面积之和的最小值，此时两个正方形的边长分别是多少？

【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（10﹣x）cm，

依题意列方程得x2+（10﹣x）2=58， 整理得：x2﹣10x+21=0， 解方程得x1=3，x2=7，

3×4=12cm，40﹣12=28cm，或4×7=28cm，40﹣28=12cm． 因此这段绳子剪成两段后的长度分别是12cm、28cm；

（2）设两个正方形的面积和为y，则y=x2+（10﹣x）2=2（x﹣5）2+50， ∴当x=5时，y最小值=50，此时，10﹣5=5cm，

即两个正方形的面积之和的最小值是50cm2，此时两个正方形的边长都是5cm．

25．（9分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛

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物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【解答】解：（1），解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+3）（x﹣1）， ∴B（﹣3，0），

把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，

，解得：

，

∴直线BC解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M， 则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3，得y=2， ∴M（﹣1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

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（3）设P（﹣1，t），又B（﹣3，0），C（0，3），

BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（t﹣3）2+12=t2﹣6t+10， 若B为直角顶点，则：BC2+PB2=PC2， 即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解得：t=﹣2； 若C为直角顶点，则：PB2+PC2=PB2， 即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解得：t=4； 若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2， 即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解得：t=

．

），（﹣

综上所述，满足要求的P点坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，4），（﹣1，1，

）

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