上海初升高自主招生讲义专题08 一元二次方程根与系数关系(教案)

专题8 一元二次方程根与系数的关系（教案）

前言：

bc 设x1和x2是一元次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个根，则x1?x2??,x1?x2?（其中

aaa、b、c均为实数）

一、专题知识

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程ax2?bx?c?0(a?0)而知其根的正负性质：

2 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)在??b?4ac?0的条件下：

c (1)?0时，方程的两根必然一正一负；

ab (2)??0时，方程的正根不小于负根的绝对值；

ab (3)??0时，方程的正根小于负根的绝对值；

ac (4)?0时，方程的两根同正或同负.

a

二、例题分析

例题1 如是a,b关于x的方程的(x?c)(x?d)?1两个根，求(a?c)(b?c)的值。

?a?b??(c?d)[解] 由已知x?(c?d)x?cd?1?0，有?，

ab?cd?1? 22则(a?c)(b?c)?ab?(a?b)x?c?cd?1?(c?d)c?c??12

例题2 方程2x?3x?2?0的实数根为?、?，求[解] 原方程?2x?3x?2?0

22?????的值。

?(2x?1)(x?2)?0，由于2x?1＞0

??-4==-1 只有x=2，x=?2，所以

?+?4

a2?9x?10b?56?5205?52b?0的两个根，求a,b的例题3 如果正整数a,b是关于x的方程x?132值。

a2?9[解] 由已知，有a?b?，a·b?10b?56?5205?52b 13从而有a2?13a?(13b+9）?0，由于a,b是正整数，故

13?132?4(13b?9)13?205?52b a??22205+52b?2a?13又由a·b?10b?56?5205?52b得

（a-10）?（b-10）=91 ab?10(a+b-9），

而91?1?91?7?13??1?(?91)??7?(?13) ?a?10?1?a?10?91?a?10?7?a?10?13或或?或?，即 ???b?10?13?b?10?7?b?10?91?b?10?1?a?11?a?101?a?17?a?23或?或?或?， ?b?101b?11b?17b?23?????a?232经检验?满足方程，此时原方程为x?40x?391?0

?b?17

例题4 已知实数a,b满足条件：3a?2a?4?0，b?b?3?0，求代数式4a[解] 将方程3a?2a?4?0变形得，(424242?4?b4的值。

222228)??3?0?，所以和b是方程x?x?3?0的两个不222aaa?22?b??12??a同的实数根，则?，

2??b2??3??a22?2?所以4a?4?b4??2???b2??(?1)2?2?(?3)?7

?a?2

三、专题训练

专题练习

11ab??b?3且a?b＞0，求3-3的值。

baab2 2.已知关于x的方程x+ax+6a=0只有整数解，求实数a的值。

22 3.已知关于x的方程x?2(a?2)?a?4?0只有一个正根，求实数a的取值范围。

4.已知a,b均为实数，证明：关于x的方程(x?a)(x?a?b)?1有两个实数根，其中一个大于

1.已知a?a，另一个小于a。

a 5.已知a,b实数满足条件： 5a2?2012a?8?0，5b2?2012b?5?0，求的值。

b22 6.解方程：(2?3)?(2?3)?4。

4 7.若?,?是方程x?x?1?0，计算??3?的值。

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