计算2(1)

级同学可用假设法，即设积为1，求出甲、乙两个数。 例4 两支粗细和长短都不一样的蜡烛，长的一支可以燃烧4小时，短的一支可以燃烧6小时，将它们同时燃烧，2个小时后，所余部分的长度正好相等，那么原来长蜡烛的长度是短蜡烛长度的几分之几?

精析 这是热点考题，五大名校都考过多次，抓住两支蜡烛2小时后余下的长度相等，列不定方程，反用比例基本性质易求出答案。

例5 某班组织了一次考试，平均分为78分。男生平均分为76分，女生平均分为80.5分，男 、女人数的比是 。

精析 平均问题是重点中学考试命题的重要内容之一，本题只告诉了3个平均分，要求人数可用假设法，但步骤较繁琐。利用总分不变这个等量关系，设字母列不定方程，反用比例基本性质巧妙求解。

例6 甲、乙两班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行速度为每小时4千米，乙班步行速度为每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这个车恰好能坐一个班的学生，为了使两班的学生在最短的时间内同时到达，那么甲班与乙班学生需要步行的距离之比是多少？

精析 此题是华赛、奥赛的总决赛题。只要我们抓住两班同学同时出发、同时到达这个相同时间，列出不定方程，化简，反用比例的基本性质易求出甲、乙两班同学步行距离之比，画图如图1所示：

学校

甲步行 S 乙步行 公园

S1 S2

车行

图1

例7 水果店里西瓜个数与哈密瓜个数之比为7:5.如果每天卖出哈密瓜40个，西瓜50个，若干天后，哈密瓜正好卖完，西瓜还剩36个，水果店里原有西瓜多少个？ 精析 间接设元，用西瓜个数和哈密瓜个数列比例方程。 1.某班有40名学生，男生人数的 2.分数

3比女生的25%多4人，该班有男生多少人？ 4193的分子、分母同时加上一个数后，结果等于，所加的这个数是 。 3143.在等式左边括号中填上相同的数，使等式成立：

17+()3=。 33+()54.已知六（2）班的男生人数的比是 。

5与女生的60%相等，这个男的男生与女生人数的最简整数81；如果分子、分母都减25.一个最简真分数，如果分子、分母都加1，那么约分后得到的为

1，那么约分后得到的为6.分数

2。这个分数是 。 519972000的分子、分母同时加上一个相同的自然数时得到新分数，这个自然数是 20002001...7.春循环小数0. abc写成最简分数时，分子、分母和是442，请你写出这个循环小数

6.规律问题解法（一）——大化小、高化低。

找规律填数是许多重点中学考试的难点，更是同学们学习的难点。它内容丰富，有数字、图形、算式等；它解法多样，有分组、列举、试除、分类等。我们应注意观察数的排列规律，或列举其中一部分数，找出循环周期，或逆推找出隐藏的规律再用规律解题。下面分类介绍技巧：

解尾数的常用技巧是“大化小”“高化低”。所谓“大化小”指只看个位数字，其他位上数字统统划掉，如1234567892008 ?92008；所谓“高化低”指列举出个位数字的循环周期，利用周期化高为低。如92008：91?9,92?1，93?9,94?1，两位循环。即2008个9相乘的个位数字与2个9相乘的个位数字相同。92008

???92008?高化低???92?1末位是1，即找循?92?1，综合看1234567892008 ?大化小环周期是高化低的关键。

例1 在1?2?3?4????????1999?2000的乘积中尾部有多少个连续的零？

精析 抓主干，找“5”的因子，由于2?5=10，即一个“2”因子配一个“5”因子即可产生一个“0”，我们知道“2?5=10”，乘积尾部有n个“0”，在1000~2000这2000个因

数中“2”因子比“5”因子多，只要我们找准共多少个5因子，问题即可解决。列举5,10,15，……较繁琐，我们不妨用试除取整法（“[ ]”表示取整）解答。 例2 1997199719992001?1999?2001?20032003?1的个位数字是多少？

精析 这类问题五大名校都考过多次。先抓住关键“大化小”的转化，即原题可变为：求

71997?91999?12001?32003?1的个位数字；再利用周期作“高化低的转化”。

例3 如果今天是星期六，从今天起102000天后的那一天是星期几？

.数塔 1 2 3 4 5 6 … 96 97 98 99 100 3 5 7 9 11 … 193 195 197 199 8 12 16 20 … 388 392 396 20 28 36 … 780 788 … … … …

最后一层这个数的个位数字是多少？

精析 全方位观察100行数塔的规律是：第一行100个数，首位两数和相加为100+1=101，即101?1；第二行有99个数，上行相邻两数之和等于下行数。依次为1+2=3,2+3=5，……99+100=199，首位两数和为3+199=202=101?2；第三行依次为3+5=8,5+7=12，……，197+199=396，首位两数和为8+396=404=101 ?2；第四行依次为8+12=20,12+16=28，……,392+396=788, 首位两数和为20+788=808= 101?2;…..由此找出

321规律：第99行两数首尾之和为101?2，即第100行的数恰好是101?2。

1. ①22005?7余 。 ②199120039898?19922004?19932005的个位数字是 。

③32004+22005的个位数字是 。

2. ① 1?2?3?4????????99?100积的末尾有 个连续的0. ②2?2?2?......?2所得的积的末尾数字是 。 ???????2008个23. 下列数的尾数数字是1的是

A.89102+4763 B.59163+296 C.7887+8778 D.2105+357+749 4. 假如今天是星期六，再过20082008天是星期 。

5. 2000?2001?2002?2003?2004?121?123?125?127?129的积的末尾有 个连续的零。 6. 3?3?3?......?3的积的个位数字是 。 ???????2009个37.规律问题解法（二）——分组、观察、列举

例1 将自然数从1开始分组如下：（1），（2,3,4），（5,6,7,8,9），（10,11,12,13,14,15,16），……，按此规律第15组第7个数是 。

精析 将数串写成数塔观察每行最后一个数，会发现行数的平方恰好是该行的最后一个数，上行的最后一个数加几就是下行从左到右的第几个数。如

末尾数

第一组 1 1 第二组 2 3 4 2 第三组 5 6 7 8 9 3 第四组 10 11 12 13 14 15 16 4

2222......则例2 如有一串数，，，，，，，，，，112123123412233344445是第 个分数。第115个分数10是 。

精析 看分子依次是1；1，2；1,2,3；……看分母依次是1；2,2；3,3,3；……我们将分母相同的分为一组，分析、比较、看有何规律：

1112第二组：，，有2个分数，分子为1,2；

22123第三组：，，，有3个分数，分子为1,2,3；

3331234第四组：，，，，有4个分数，分子为1,2,3,4；

4444第一组：，只有一个分数，分子为1；

比较这四组不难发现：①分母相同的为一组，是第几组，该组中就有几个分数，分子是几就是该组中第几个分数。②数组构成连续自然数，前几组的总个数恰是各组的和。 例3 A、B、C三行是按不同规律排列的数，那么当A=32时，B+C= 。

A B C 2 1 2 4 5 5 6 9 10 8 13 17 10 17 26 …… …… …… 精析 认真观察A、B、C三行数字串的规律。找出规律，用规律解题。A行规律一眼就能看出是连续偶数，用an=2n表示；B行规律是首项为1，公差为4的等差数列，用an=4n-3表示；C行规律是an= n+1. 例4 按规律填数：

2311212161，，，，，1， 。 89147937232精析 本题失分率很高，数字就表面上来看，规律不明显，主要是规律隐藏的妙，通分子，找规律，计算容易出错。如果挖掘出分子没相邻两个数有2倍关系（即分子构成公比为2的等比数列），分母每相邻两个数的差为5（即公差为5的等差数列），就能准确填上空缺的数。

......则第2008个数是 。 例5 按规律排列的一列数，，，，精析 观察找规律，，看分子的均为1，第2008个数的分子也是1，关键看分母，

11112510172 +3 5 +5 10 +7 17????????????……相差连续奇数，此规律不便于求第2008个数。换角度探索：

22=12 +1， 5 = 22 +1，10 =32 +1， 17=42 +1，。得出规律：分母= =n +1。

例6 一列数，前3个数是1，9，9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，则这列数的第2012个数是 。

精析 题意列举部分数找循环周期，列举的技巧是“大化小“。由于一个数除以3的余数只能是0、1、2，用余数列举，计算方便，快捷。

......第100个数是 ，第2006个数是 。例7 有一串分数，，，，，，

精析 本题诸多重点中学年年考，初看这串分数规律不明显，为了便于寻找规律我们不妨扩

115731132912518 = ， ， ， = 分，将分子、分母改写成由小到大的递增形式：即，2n-1， 3n1312356973125911， ，……1518此时易看出分子为连续奇数（一般用2n-1表示），如1,3,5,7,9……分母为3的倍数，用3n表示，如3,6,9,12,15,18，……因此有规律 an= 例8 有一列数：2,3,68,8,4，……第3个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数，那么那么这一列数的第80个数是 。

精析 根据题目包含的规律，列举找循环周期。

1、 将2000名学生排成一排，按1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1，1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,2,1……

循环报数，则第2000名学生报的数是 。

......这串数从左开始数，第 2、如有一串数，，，，，，，，，，，，，，，，11211232112343211222333334444444