高三数学一轮复习精品教案10：§2.2函数的单调性与最值教学设计

高三数学一轮复习教案 考向三 函数的最值及其应用

x2＋2x＋a

例3 已知函数f(x)＝，x∈『1，＋∞)．

x1

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2

(2)若对任意x∈『1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 117

解 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在『1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.

22x2x2＋2x＋a

(2)当x∈『1，＋∞)时，由f(x)＝>0恒成立，得x2＋2x＋a>0，即a>－x2－2x在

xx∈『1，＋∞)上恒成立．

因为当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，所以a>－3.

方法总结： 不等式m＞f(x)恒成立?m＞f(x)max，m＜f(x)恒成立?m＜f(x)min.

训练3 若对任意x∈(0,1』，函数f(x)＝x|x－a|－2的值恒为负数，则实数a的取值范围是________．

2222『解析』由f(x)＝x|x－a|－2<0，x∈(0,1』，得|x－a|<，即x－

xxxx222

x－?max＝－1，?x＋?min＝3，上单调递增，x＋在(0,1』上单调递减，所以x＝1时，??x??x?x所以－1

1

1.下列函数中：①f(x)＝；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex；④f(x)＝ln(x＋1)，满足“对任意

xx1x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的函数序号是________．

1

『解析』由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f(x)＝符合题意．

x『答案』①

2

2.下列函数中：①y＝－x＋1；②y＝x；③y＝x2－4x＋5；④y＝，在区间(0,2)上为增函

x数的是________(填所有正确的编号)．

『解析』y＝－x＋1在R上递减；y＝x在R＋上递增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2』上递减，2

在『2，＋∞)上递增，y＝在R＋上递减．

x『答案』②

3.若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1』上是减函数，则a的取值范围是________．

5

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『解析』因为f(x)是二次函数且开口向上， 所以要使f(x)在(－∞，1』上是单调递减函数， a2－4a＋1

则必有－≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.

2『答案』『1,3』

4.下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝ 2单调递增的函数序号是________．

『解析』y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2『答案』②

5.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．

『解析』由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f(1－x)＋f(1－x2)＜0， 得f(1－x)＜－f(1－x2)， 所以f(1－x)＜f(x2－1)．

又因为f(x)在(－1,1)上是减函数， －1＜1－x＜1，??

所以?－1＜1－x2＜1，解得0＜x＜1.

??1－x＞x2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 『答案』(0,1)

6.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．

『解析』由题意，得f(x)在『0，＋∞)上是增函数，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，从而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只能①是正确的． 『答案』① 二、解答题

11

7.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．

ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

1?1

，2上的值域是?，2?，求a的值． (2)若f(x)在??2??2?(1)证明 法一 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.

11??11?11x2－x1

因为f(x2)－f(x1)＝??a－x2?－?a－x1?＝x1－x2＝x1x2>0，所以f(x2)>f(x1)，

6

－|x|

－|x|

.既是偶函数又在(0，＋∞)

在(0，＋∞)上是减函数．

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因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 11

法二 因为f(x)＝－，

ax11?1

所以f′(x)＝??a－x?′＝x2>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

1?1

，2上的值域是?，2?， (2)解 因为f(x)在??2??2?1?

又f(x)在??2，2?上单调递增， 1?12所以f?＝，f(2)＝2，故a＝. ?2?25

8．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， 2f(1)＝－. 3

(1)求证：f(x)在R上是减函数．

(2)求f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值．

(1)证明 法一 因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 所以令x＝y＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又由x＞0时，f(x)＜0，

而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)．

因此f(x)在R上是减函数． 法二 设x1＞x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0， 所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在R上为减函数． (2)解 因为f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在『－3,3』上也是减函数，

所以f(x)在『－3,3』上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.

所以f(x)在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.

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