高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列[讲义]

S20+S10=0，则an=_____________.

3n15. 已知limn?1，则a的取值范围是______________. ?nn??33?(a?1)6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。

n?401n?4027．已知an?(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与

最小项分别是____________.

8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.

9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.

10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.

11．已知数列{an}中，an?0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111??????（n≥2）①恒成立。 a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn?1(n≥2), 当a1=p, 21?an?1b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=

anbn. ；（3）求数列limn??an?113．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c) 12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。

4xn?1?2，则通项xn=__________.

2xn?1?72．设数列{xn}满足x1=1, xn=

253. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且3an?an?1，则通项an=__________.

4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则?i?0n1=__________. ai5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之

和不超过100，这样的数列至多有__________项.

an?2?an=2，则 an?1?17. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

limn??a1?a2???ann2?________.

8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.

?an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=??2?a?h?nan为偶数an为奇数。问：

对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？

10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。 11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan?23anan?2?1?1?1.

六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,…. 2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。 试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

??an?1?7an?6bn?3, ??b?8a?7b?4,n?0,1,2,?.nn?n?1求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

22x0xnx12?????1≥3.999均成立； x1x2xn22x0xnx12（2）寻求这样的一个数列使不等式?????1<4对任一n均成

x1x2xn立。

5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(1?2an?2)an1?16．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=2, 232an?1?4an?2an?1?an?2(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

1?2是整数的平方。 an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1. m?k9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

bk?11<(k=1,2,…,n)； qbk1?q(a0+a1+…+an). 1?q（2）q<

（3）b1+b2+…+bn<