高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列[讲义]

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正22整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

an?1?q，则{an}称为an定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有等比数列，q叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q?1时，

a1(1?qn)Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即

1?qb2=ac(b?0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。 定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的?>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

an?A. 限，记作limn??定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。 1?q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程

x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α?β，则xn=c1an-1+c2β

n-1

，其中c1, c2

n-1

由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αc1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。

，其中

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.

例2 已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an. 【解】 因为a1=,又a1+a2=22·a2,

a?a111，a3=?22?,猜想an?(n≥1). 3?23?4n(n?1)3?11，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成2?11212所以a2=

证明；1）当n=1时，a1=立。

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，

所以

111=k(k+2)ak+1, ????2?13?2k?(k?1)1212131k1=k(k+2)ak+1, k?1即1???????所以

k1=k(k+2)ak+1,所以ak+1=. k?1(k?1)(k?2)由数学归纳法可得猜想成立，所以an?1. n(n?1)例3 设01.

【证明】 证明更强的结论：1

1，求证：对任意n∈N+,an2)假设n=k时，①式成立，即1

111?a?a21?a??a??a???1.

1?a1?a1?aak1?a?ak?1由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。