积分不等式的证明方法及其应用

事实上，F(x)?2f(x)?'x0x0x2?f(t)dt?f(x) ?f(x)2?f(t)dt?f(x)????0?3

令g(x)?2?f(t)dt?f2(x)，故只要证明在(0,1)内有g(x)?0，因g(0)?0，故只要证明在(0,1)内有g'(x)?0.事实上，

g(x)?2f(x)?2f(x)f(x)?2f(x)(1?f(x))'''，

已知f(0)?0，0?f'(x)?1（x??0,1?），故x?(0,1)时，f(x)?0，所以g'(x)?0，故F'(x)?0.

证2 已知f(0)?0，0?f'(x)?1（x??0,1?），故x?(0,1)时，f(x)?0

(?f(x)dx)12所以问题在于证明

?x0010f(x)dx3?1?（*）

令F(x)?(?f(s)ds)2，G(x)??x0f(s)ds

3 则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有

(?f(x)dx)12010?F(1)?F(0)G(1)?G(0)

?f(x)dx3?F(?)G(?)2??0''?2f(?)?3?0f(t)dtf(?)2??0

0f(t)dt2?f(?)?f(t)dt?2?f(t)dtf(?)?f(0)202

?2f(?)2f(?)f(?)'?1f(?)'?1(0?????1)

2.6 其它方法

证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.

3 几个重要积分不等式及其应用

本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨

5

论它们的证明与应用.

3.1 Schwarz不等式及其应用

3.1.1 Cauchy不等式[ 9 ]

对任意n个数ai?0,i?1,2,3?,n恒有(?aibi)?(?ai)(?bi)2，其中等号当且仅

22i?1i?1i?1nnn当ai与bi成比例时成立.

我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式. 3.1.2 定理1(Schwarz不等式)[ 9 ]

(?f(x)g(x)dx)?ab2?baf(x)dx?g(x)dx,f(x),g(x)在区间[a,b]上可积，其中等

a2b2号当且仅当存在常数a,b，使得af(x)?bg(x)时成立（a,b不同时为0）. 证1 将[a,b]n等分，令xi?a?nn2nin(b?a)，应用Cauchy不等式得

(?f(xi)g(xi))?i?1?i?1f(xi)??g(xi)，则有

22i?1(1n?ni?1f(xi)g(xi)b?an2)?b21n?ni?1b?a1f(xi)?nn2n?i?1g(xi)2b?an，令n???得

(?f(x)g(x)dx)?ab?af(x)dx?g(x)dx.

aba2b22证2 利用定积分的性质易知?[f(x)?tg(x)]dx?0，即

t2?bag(x)dx?2t?f(x)g(x)dx?aba2b?baf(x)dx?0

2(1)当?g2(x)dx?0时，因为g(x)在区间[a,b]上可积，所以g2(x)在区间[a,b]上也可积且非负，故有g2(x)?0,a?e于E，所以g(x)?0,a?e于E，继而有

f(x)g(x)?b0,?a于eE，所以有?f(x)g(x)dx?0，命题得证，其中E??a,b?.

ab(2)当?g2(x)dx?0时，上面方程是关于t的二次多项式不等式，因此，判别式：

a??4(?f(x)g(x)dx)?4?f(x)dx?g(x)dx?0，即：

aaab2b2b2(?f(x)g(x)dx)?ab2?baf(x)dx?g(x)dx,命题得证.

a2b2 6

证3 利用二重积分来证明Schwarz不等式.

?baf(x)dx?g(x)dx?(?f(x)g(x)dx)aa2b2b2

b2???1?2bababaf(x)dx??g(x)dx?ab2222b21?2baf(y)dy??g(y)dy?a22?baf(x)g(x)dx?f(y)g(y)dyab

11?2dy?[f(x)g(y)?f(y)g(x)?2f(x)g(x)f(y)g(y)]dx

a?2dy?[f(x)g(y)?f(y)g(x)]dx?0ab2

即有(?f(x)g(x)dx)?ab2?baf(x)dx?g(x)dx，由此看出若f(x),g(x)在区间

a2b2其中等号当且仅当存在常数a,b，使得af(x)?bg(x)时成立（a,b[a,b]上连续，同时为0）.

3.1.2 Schwarz不等式的应用

不

应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数f,g. 例1 已知f(x)?0，在?a,b?上连续，?f(y)dy?1，k为任意实数，求证：

ab????baf(x)coskxdx????22baf(x)sinkxdx?2?1 ?（*）

证 （*）式左端第一项应用Schwarz不等式，得

baf(x)coskxdx????baf(x)(f(x)coskx)dx?2??baf(x)coskxdx?f(x)dx

a2b ?同理

?baf(x)coskxdx

2??bbaf(x)sinkxdx?2??babaf(x)sinkxdx

2所以

??af(x)coskxdx????2f(x)sinkxdx?2??baf(x)coskxdx?2?baf(x)sinkxdx

2 ?b12b2?baf(x)dx?1

1b12例2 求证：(?(f(x)?g(x))dx)2?(?f(x)dx)2?(?g(x)dx)2,其中f(x),g(x)aaa在区间[a,b]上连续，其中等号当且仅当存在常数a,b，使得af(x)?bg(x)时成立,a,b不同时为0.

7

证 ?(f(x)?g(x))2dx?ab?baf(x)dx?2?ba2g(x)dx?2?f(x)g(x)dx

ab

??baf(x)dx?2?bag(x)dx?2(?f(x)dx)2(?g(x)dx)2aa22b12b12

11b?b2?2 ??(?f(x)dx)2?(?g(x)dx)2?aa??

对上式两边开平方即得要证明的积分不等式.

3.2 Holder不等式及其应用

3.2.1 基本形式[ 1 0 ]

设ai,bi?0,i?1,2,3?,n，k,k'为实数，且有?k1k?'k?k?1当（从而k?1）时，?aibi???ai?i?1?i?1?nnn..

11k'?1，则

1k'?k'????bi? ?i?1?11n当k?1,k?0（从而k'?1）时，?aibi???aik????bik'?

i?1??n??k??n??k'i?1i?1其中等号当且仅当ai与bi成比例时成立. 3.2.2 Holder不等式的积分形式[ 1 0 ]

定理2 设f(x),g(x)?0，并使得所论的积分有意义，k,k'?0,1为共轭实数（即

1k?1k'..

?1），则

当k?1（从而k'?1）时，?f(x)g(x)dx?abb??baf(x)dxk???k1bag(x)dx1kk'?1k'

当k?1,k?0（从而k'?1）时，?f(x)g(x)dx?a'??baf(x)dxk???bag(x)dxk'?1k'

若f,g连续，则其中的等号当且仅当fk(x)?tgk(x)时成立. 证 当k?1（从而k'?1）时，令E?[a,b].

因为f(x),g(x)?0，所以?fk(x)dx?0,?gk(x)dx?0，

aabb'(1)若?fk(x)dx?0，又f(x)?0，则fk(x)?0，所以fk(x)?,a?e于E，故

ab 8