积分不等式的证明方法及其应用

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Holder不等式 Gronwall不等式

Young不等式

..

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如?e?xdx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

012算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在?0,1?上连续可微，且f(1)?f(0)?1，求?f'2(x)dx），因此我们希

01望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

?21xlnxdx??21xlnxdx，

??baf(x)coskxdx????2baf(x)sinkxdx?2?1都是积分不等

式.

2积分不等式的证明方法

2.1 定义法

我们根据定积分的定义，把积分区间n等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令n??，取极限即可. 例1设函数f(x)在区间 ?0,1?上可积 .试证明有不等式?f(x)dx?01?10f(x)dx.

2证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 ?x1,x2,?,xn?R, 有不等式

1

x1?x2???xnn ? x1?x2???xnn222.

n 设T为区间[ 0 , 1 ]的n等分.由上述不等式,有?i?1?i?1f?? ? ?n?nn?i?12?i?1f??. ?n?n 令n??, 注意到函数f(x)和f2(x)在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 |x|和x的连续性，就有积分不等式 ?f(x)dx?01?10f(x)dx.

2例2 设f在区间?a,b?上连续，p(x)?0，?p(x)dx?0，且m?f(x)?M，h(x)a在?m,M?上有定义，并有二阶导数h''(x)?0，试证明：

b?h(bap(x)f(x)dx?ba)?p(x)dx?bap(x)h(f(x))dx?ba.

inp(x)dx(b?a)，pi?p(xi)证 （利用积分和）将?a,b?n等分，记xi?a?i?1,2,3?

，fi?f(xi)，

nn因为h''(x)?0，所以h(x)为凸函数，所以h(?i?1npifi)?pi?i?1pih(fi)n

pi?i?1n?i?1 则有h(?i?1npifipib?ann)?n?i?1pih(fi)nb?an?i?1b?a?i?1pib?an

令n???取极限，便得欲证明的积分不等式.

2.2 利用定积分的基本性质

例3 设f(x)在?a,b?上二次连续可微，f(其中M?supf''(x).

a?x?ba?b2)?0，试证：?f(x)dx?abM(b?a)243，

证 将f(x)在x?f(x)?f('a?b2a?b2处用泰勒公式展开，注意到f()?12!f(?)(x?''a?b2)?0，则

a?b2)(x?a?b22

)2，f(x)的右端第一项在?a,b?上的

积分为0，故

?baf(x)dx??2!31baf(?)(x?''a?b22)dx?1?2baf(?)(x?''a?b2)dx?216M(x?a?b2)|a3b

?M(b?a)24，其中M?supf''(x).

a?x?b例4设函数f(x)在?0,1?连续且递增，证明：对任意k??0,?1，有

?k0f(x)dx?k?f(x)dx.

01k00k?f(x)dx?k?f(x)dx???01证1 k?f(x)dx???1kf(x)dx????1k?k0f(x)dx

?(k?1)?f(x)dx?k?f(x)dx ?k(k?1)?f(?1)?f(?2)?

0k

k1?0(其中0??1?k??2?1),

移项即得.

1证2 ?f(x)dx?k?f(x)dx?00k10k?k0f(x)dx?k?f(x)dx?k?f(x)dx

0kk ?(1?k)?f(x)dx?k?f(x)dx或但f在闭区间?0,1?上连续且递增，故

1k1k1k?k0k0f(x)dx?11?k?1kf(x)dx1

?f(x)dx?f(k)?1?k?1kf(x)dx，即

?k0f(x)dx?11?k?1kf(x)dx成立，原题获证.

2.3 利用重积分证明积分不等式

把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知f(x)?0，在?a,b?上连续，?f(y)dy?1，k为任意实数，求证：

ab??baf(x)coskxdx??????baba2baf(x)sinkxdx?a2?1 ?（*）

bab证 （*）式左端? ?原式获证.

f(x)coskxdx?f(y)coskydy?dx?bab?f(x)sinkxdx?f(y)sinkydy

aba?f(x)f(y)cosk(x?y)?dy??dx?f(x)f(y)dy?1

ab2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法

例6 设函数f(x)在?0,1?上有连续二阶导数，f(0)?f(1?)，0f(x)?0 3

（x??0,1?），试证：?10f(x)f(x)''dx?4.

证 因f(x)?0（x??0,1?），故f(x)在?0,1?内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在?0,1?内，与f(x)?0矛盾），不妨设f(x)?0（?0的情况类似可证），

x??0,1?,因f(x)在?0,1?上连续，故存在c??0,1?，使得f(c)?maxf(x)，于是对

0?x?1任意0?a?b?1有

?10f(x)f(x)''dx??10f(x)f(c)''dx?1f(c)1f(c)?10f(x)dx?''1f(c)?baf(x)dx?''1f(c)?ba''f(x)dx

?''f(b)?f(a)

下面我们来恰当地选取a,b，得到所需的估计.注意到f(0)?f(1)?0，应用Lagrange公式得，

????0,c?,f(?)?'f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c1?f(c)cf(c)1?c； .

''????c,1?,f(?)?'??令a??,b??，则?0f(x)f(x)2''dx?1f(c)f(b)?f(a)?1f(c)f(c)1?c?f(c)c?1c(1?c)

1f(x)11?c?1?c?dx??4，获证. 因为c(1?c)??，所以???0f(x)c(1?c)24??''2.5 构造变限积分的方法

对于一个积分不等式，可把常数a变为变量构造辅助函数y?F(x)，再利用函数

y?F(x)的性质来证明积分不等式.

例7 设f(x)在?0,1?上可微，且当x??0,1?时，0?f'(x)?1，f(0)?0，试证明：

(?f(x)dx)?012?10f(x)dx.

113证1 问题在于证明(?f(x)dx)2??f3(x)dx?0

00故令F(x)?(?f(t)dt)??f3(t)dt，因F0故只要证明在(0,1)内有F'(x)?0.)(0?，

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