高三数学一轮复习学案：6.1不等式

不低于原计划的78%。

思路解析：表示高效率调低后的税收收入?列不等关系?解不等关系?得结论 解答：设税率调低后的税收总收入为y元，则

12m(x2?42x?400).25由题意知，0?x?8,要使税收总收入不低于原计划的78%,须y?2400m?8%?78%,y?2400m(1?2x%)?(8?x)%??（四）一元二次不等式恒成立问题 〖例〗求使

整理，得x2?42x?88?0,解得?44?x?2,又0?x?8,?0?x?2,所以x的取值范围是（0,2]x?yx?y≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。

思路解析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sin

yθ来对应进行换元，即令x=cosθ，=sinθ(0＜θ＜2＝，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换

元是错误的 其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的。

除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max 若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。

解答：解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，

?得：x+y+2

xy≤a(x+y)，即2

2

xy≤(a－1)(x+y)，

2

①

∴x，y＞0，∴x+y≥2

xy， ②

当且仅当x=y时，②中有等号成立。

2

比较①、②得a的最小值满足a－1=1，

2

∴a=2，a=2 (因a＞0)，∴a的最小值是2。

u?解法二：设

x?y(x?y)2x?y?2xy2xy???1?x?yx?yx?yx?y ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2

xy (当x=y时“=”成立)，

2xy2xy∴x?y≤1，x?y的最大值是1。

从而可知，u的最大值为1?1?2， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2， 解法三：∵y＞0，

∴原不等式可化为

xy+1≤ax?1y，

设

x?y=tanθ，θ∈(0，2)。

2∴tanθ+1≤atan??1，即tanθ+1≤asecθ

?∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+4)，

③

??又∵sin(θ+4)的最大值为1(此时θ=4)。 由③式可知a的最小值为2。

注：（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；

（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。

三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 （一）二元一次不等（组）表示平面区域 ※相关链接※

二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法 （1）直线定界，特殊点定域

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线。若直线不过原点，特殊点常选取原点。

（2）同号上，异号下

即当

时，区域为直线Ax+By+C=0的上方，当

，

区域为直线Ax+By+C=0的下方。

※例题解析※

〖例〗如图ΔABC中，A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出ΔABC区域所表示的二元一次不等组。

思路解析：通过三点可求出三条直线的方程，而后利用特殊点验证。因三条直线均不过原点，故可由原点(0,0)验证即可。

解答：由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA：5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为：

（二）求目标函数的最值 ※相关链接※

1、求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值。

2、最优解的确定方法

线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的；当b<0,则是向下方平移。

※例题解析※

?2x?y?40?x?2y?50?〖例〗若变量x,y满足?,则z?3x?2y的最大值是（ ）

x?0???y?0A 90 B 80 C 70 D 40

思路解析：作出可行域?作出直线3x+2y=0?找到最优解?求得最大值 解答：选C。线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示。

可知z?3x?2y在A点处取最大值，由??2x?y?40，解得A（10，20）。∴zmax?70.故选C。

?x?2y?50（三）线性规划的实际应用 ※相关链接※

解决线性规划实际应用题的一般步骤：

（1）认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数； （2）作出可行域；

（3）作出目标函数值为零时对应的直线l

（4）在可行域内平行移动直线l，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解； （5）求出最优解，从而得到目标函数的最值。

注：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以“验明正身”。另外对最优整数解问题，可使用“局部微调法”，此方法的优点是思路清晰，操作简单，便于掌握。用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解。

※例题解析※

〖例〗某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给

甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元。问应如何安排调运方案，才能得到从两个仓库货物到三个商店的总运费最少？

思路解析：由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件。设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解。

解答：将已知数据列成下表：

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为（12-x-y）吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、（8-y）吨、[5-（12-x-y）]=（x+y-7）吨，于是总运费为：

Z=8x+6y+8(12-x-y)+3(7-x)+4（8-y）+5（x+y-7）=x-2y+126.

?12?x?y?0?x?y?0?7?x?0?0?x?7???,即?∴线性约束条件为?8?y?0。目标函数为：z?x?2y?126.作出上述不等式组

0?y?8?x?y?7?0????x?y?7x?0,y?0??表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示：

z?x?2y?126.作出直线l：x-2y=0,把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点(0,8),在可行域内，

取得最小值zmin?0?2?8?126?110，即x=0,y=8时总运费最少。

安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、

乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少。

注：求线性规划问题的整点最优解常用以下方法：

（1）平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解；

（2）检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解；

（3）调整优值法；先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解。