2016年全国各地中考数学试卷分类汇编 专题39 开放性问题

开放性问题

一、 填空题

1. （2016·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点山东省济宁市·H，请你添加一个适当的条件： AH=CB等（只要符合要求即可） ，使△AEH≌△CEB．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．

【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°，

在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE，

在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH，

∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE， 所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB； 根据ASA添加AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．

故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE． 三.解答题

1．（2016·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 山东省滨州市·（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；函数及其图象．

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【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．

（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣

问题．

（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0， ∴x2+2x﹣8=0， x=﹣4或2，

∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）， 令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）． （2）由图象可知AB只能为平行四边形的边， ∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1， ∴点E的横坐标为﹣7或5， ∴点E坐标（﹣7，﹣

）或（5，﹣

），此时点F（﹣1，﹣

），

∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×

=

．

（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N， 在RT△CM1N中，CN==

，

∴点M1坐标（﹣1，2+

），点M2坐标（﹣1，2﹣

）．

②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1， 线段AC的垂直平分线为y=x， ∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）． ③当点A为顶点的等腰三角形不存在． 综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+

）或（﹣1.2﹣

）．

），由此不难解决

【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．

2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式；

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（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；

（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式． 【解答】解：

（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

，解得，

（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3， ∴A点坐标为（﹣1，0）， ∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=x﹣3，

设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3）， ∵P点在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM， ∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大， ∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=此时P点坐标为（，﹣即当P点坐标为（，﹣

，

=

，

；

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），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+

）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为

（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，