2007年迎春杯高年级组复赛试题及详解

2007年“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组决赛试题解析

1．定义a△b表示a×b的整数部分。例如：3.5△1.5=5。计算199△?+199△(4-?)=________。 一级提示：整数部分有哪些性质？

二级提示：原式应当介于哪两个整数之间？ 题目分析：答案为795。

这是一道涉及取整的计算题。解决这类题一般不进行精算，估算即可。 注意199?+199(4-?)=796，而所求的结果比796要小，小的部分就是199?的小数部分与199(4-?)的小数部分之和。显然它们的小数部分大于0小于1，所以和大于0小于2。又因为所求结果是个整数，那么小数部分的和只能是1，因此所求结果为796-1=795。

2．对于每个不小于1的整数n，令an表示1+2+3+?+n的个位数字。例如a1?1，a2?3，a4?0，

a5?5，则a1?a2?a3?...?a2007?________。

一级提示：这样的题目肯定有周期规律性。

二级提示：每个周期有多少个数？这些数的总和是多少？ 题目分析：答案为7024。

因为1+2+3+?+20=210，210的个位数字为0，所以20个一循环。

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

an 1 3 6 0 5 1 8 6 5 5 6 8 1 5 0 6 3 1 0 0

于是a1?a2?a3?...?a2007

=100(a1?a2?a3?...?a20)?a1?a2?a3?...?a7

=100×(1+3+6+0+5+1+8+6+5+5+6+8+1+5+0+6+3+1+0+O)+1+3+6+O+5+1+8 =100×70+24 =7024。

3．将数字1～9填入下面方框。每个数字恰用一次，使得下列等式成立； (□□□□+2)÷4+□□-★=2007 现在“2”、“4”已经填入。当把其它数字都填入后。算式中唯一的减数(★处)是________。 一级提示：哪些位的数是可以先确定的？

二级提示：如果对于数字谜的理解很透彻，不需要求出整个算式就能确定出★。 题目分析：答案为1。 本题的官方解答如下：

首先可以估算四位数的取值范围：

四位数不大于(2007+9-13)×4-2=8010，不小于(2007+1-98)×4-2=7638。 显然四位数的首位数字只能是7，因为不能有0。

再由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字—定是偶数，只能是6或8。

如果个位为6，由个位是8而能被4整除的数其十位数字是偶数，可知四位数只能为7986，而(7986+2)÷4=1997，故只需利用剩下的数凑出10即可。剩下的数字是1，3，5，不能凑出10。所以四位数的个位数字不是6。

四位数的个位数字是8时，由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数，故四位数的十位数字

是1、3、5或9。

当四位数的十位数字是1时，四位数只可能是7918，而(7918+2)÷4=1980，故只需利用剩下的数凑出27即可。剩下的数字是3，5，6，不能凑出27；

当四位数的十位数字是3时，四位数只可能是7938，而(7938+2)÷4=1985，故只需利用剩下的数凑出22即可。剩下的数字是1，5，6，不能凑出22；

当四位数的十位数字是5时，四位数只可能是7658或7958，若为7958，则由(7958+2)÷4=1990，需利用剩下的数凑出17即可。剩下的数字是1，3，6，不能凑出17；若为7658，有(7658+2)÷4+93-1=2007； 当四位数的十位数字是9时，四位数只可能是7698，而(7968+2)÷4=1925，故只需利用剩下的数凑出82即可。剩下的数字是3，5，6，不能凑出82； 故此题只有惟一答案：(7658+2)÷4+93-1=2007。 算式中唯一的减数是1。

然而，笔者认为官方解答过于复杂，走了弯路。因为只是需要求出★，并没有要求求出整个算式。根据笔者的经验，凡是遇到使用1-9的数字各一次或者0-9的数字各一次的数字谜问题的时候，应当立刻想到“所有的数字总和被9整除”这个信息量，或者说，弃九法很可能给题目提供了捷径。这个理念应当让小学生们熟练掌握。现在尝试使用弃九法：

记算式为(ABCD?2)?4?EF?G?2007。右侧2007被9整除，这恰好为弃九法提供了便利条件。 左侧乘以4，得到ABCD?2?(EF?G)?4?0(mod9)

A?B?C?D?4(E?F?G)?7(mod9)

又因为九个数字的总和为45，所以A?B?C?D?E?F?G?39?3(mod9) 两式相减，得到3(E?F)?5G?4(mod9)

所以，G?1(mod3)。因为4已经被占用，且根据前面分析A=7，所以G只能等于1。

4．将1～999这999个自然数排成一行(不一定按从大到小或从小到大的顺序排列)，得到一个2889位数。那么数字串“123”最多能出现________次。

一级提示：都有哪些数字组合的情况可能导致123相邻？ 二级提示：各种情况分别最多可能出现多少次？ 题目分析：答案为23。

构成数字串“123”的方式有很多，它可能是由一个数单独构成，也可能是由两个数或三个数构成。统计数字串“123”出现的次数，最好的办法就是对其进行分类统计。 我们将出现的“123”分为如下几类： 就是123三位数本身，一个；

1和23分别属于两个不同的多位数，那么后面这个数可能是23或以23开头的三位数。23或以23开头的三位数有23，230，231，232，?，238，239共11个，而以1结尾的数远远多于11个，所以这类最多有11个；

12和3分别属于两个不同的多位数，那么前面这个数可能是12或以12结尾的三位数。12或以12结尾的三位数有12，112，212，312，?，812，912共1O个，而以3结尾的数远远多于10个，最多有10个；

1、2和3分别属于三个不同的多位数，那么中间这个数只能是2，最多出现1次。 综上，最多出现1+11+10+1=23次，而且易看出可以达到。

5．在下图的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各不相等；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘积。那么，★处所填的数是________。

一级提示：哪些格的数是可以先确定的？ 二级提示：每行或者每列的数的乘积是多少？

题目分析：这是一道拉丁方问题。每行、每列的7个各不相等的数的乘积均为7!=5040。任意两行、两列中14个各不相等的数的乘积均为7!×7!=25401600，除去已知的乘积，未知数的乘积便可知。将其分解，进行分析，即可填出。

首先将列依次定a、b、c、d、e、f、g，行依次定为l、2、3、4、5、6、7，那么★处可表示为7g。 观察a、b两列，由25401600÷525÷192÷36=7，容易知道7a、7b只能是1和7。再由6b、6c、7b、7c相乘积为20，容易知道7b，只能填1，7a只能填7。

由于6b、6c、7b、7c相乘积为20，7b填1，这样一来，6b、6c、7c可能填1、4、5或2、2、5。 若6b、6c、7c填l、4、5，只能是6b填4，6c填1，7c填5(1a，1b，2a，2b乘积为525，1a、1b、 2a、2b中必有两个是5，一个是3，另一个是7)。于是5a、5b、6a的乘积为9，在5a、5b、6a中，必 有两个是3，这时与1a、1b、2a、2b中所填的3出现在同一列，矛盾。 故6b、6c、7c只能填2、2、5。即6b填2，6e填5，7c填2。

确定1c、2c中填的数。由25401600÷525168÷24=12，12=2×6=3×4，7c已填2，所以1c、2c只能填3和4。60与120均不是7的倍数，故c列中，7只能在5c处。3c、4c只能填1和6。 60与120均是5的倍数，故c列中，5已出现，显然3d填5，4d填2。再由25401600÷168÷120÷84=15，15=3×5，可确定3e填3。下面确定4e，4e所填的数是105与120的公约数，只能是1或5。若填1，则5d、5e的乘积为60，它显然不能表示成两个不大于7的数的乘积，故4e填5。

从第6、7行看，6d、6e、7d、7e不能出现2，这样一来，84只能表示为84=7×3×4×1，显然6d、6e只能填7和1，7d填3，7e填4。5d、5e乘积是120÷2÷5=12，从d、e列看，12只能表示为12=2×6，5d填6，5e填6。

下面请同学们自己进行分析，容易得到下面填法。★处所填的数是6。

6．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。

一级提示：这样的题目肯定需要用到加乘原理。

二级提示：如果从正面想觉得困难，可以尝试反面想。 题目分析：答案为150。

这是一道组合计数问题。由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，2，3出现的具

体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1，2，3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可。 解法一：分两类。

1 (1)1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有C3?5?4?60个；

22(2)1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有C3?5?C4?90个；

综上所述，符合题意的五位数共有60+90=150个。 解法二：从反面想：

5

由1，2，3组成的五位数共有3个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有3×(25-1)个，

5

由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有3-3x(25-1)-3=150个。

7．小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2所示，那么这个几何体至少用了________块木块。

一级提示：每个位置应该有几层？

二级提示：哪些位置是没有必要放木块的？

题目分析：答案为26。

这道题很多同学认为答案是31块。这是受思维定势的影响，认为图2中每—格都要至少放一块。 其实，有些格不放，看起来也是这样的。

如下图，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为26块。

8．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行(不一定同时出发)，甲骑自行车，乙步行。两人在距A地500米处第一次相遇。甲继续走到C地后发现忘带东西，于是将速度提高一倍，立即返回A地，并在距A地400米处追上乙。到达A地后不作停留立即前往B地，在距A地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。那么BC两地相距________米。

一级提示：行程问题中，相同时间内所行的路程比等于速度比。 二级提示：可以画折线图来帮助分析。 题目分析：答案为1700。