同济大学（高等数学） - 第四章 - 不定积分

例20 求?dxx?a22(a?0)． ?ππ???解 令x?atant,t???,?,dx?asec2tdt，

22?dxx2?a2=?cost?asec2tdt??sectdt?lnsect?tant?C．

x2?a2?ππ?,t???,? a?22?1ax利用tant?作辅助三角形（图4-3），求得 sect?a所以 ??xx2?a2?ln??22?aax?a?dx???c?lnx?x2?a2?C1． ????

图4-3

例21 求?dxx?a22(a?0)．

??π??解 当x?a时，令x?asect,t??0,?,dx?asect?tantdt，

2?dxx2?a2=??cott?asect?tantdt??sectdt?lnsect?tant?C1．

x2?a2， a1aa利用cost?作辅助三角形（图4-4），求得tant?x所以 ?xx2?a2?ln??C1?lnx?x2?a2?C，(C?C1?lna)．

aax2?a2dx??当x??a时，令x??u则u?a，由上面的结果，得

?dxx2?a2???duu2?a2?lnu?u2?a2?C1??ln?x?x2?a2?C1

???? =?x?x2?a2?C,(C?C1?2lna)． 综上，

???dxx2?a2?lnx?x2?a2?C．

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图4-4

注 当被积函数含有形如a2?x2，a2?x2，x2?a2的二次根式时，可以作相应的换元：x?asint，x?atant，x??asect将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．

二、简单无理函数代换法 例22 求?dx1?2x．

u2解 令u?2x,x?,dx?udu，

2udu1????1??du?u?ln1?u?C?2x?ln1?2x?C． 1?u1?u1?2x??dx例23 求?． 3(1+x)x?dx=????解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令t?6x，则x?t6，dx?6t5dt，从而

6t5t21?1?2?(1+3x)x??(1?t2)t3dt?6?1?t2dt?6???1?tdx??dt ??6(t?arctant)?C?6(6x?arctan6x)?C．

例24 求?11?xdx． xx22t1?x1dt，从而 ，则x?2，dx??22x(t?1)t?1解 为了去掉根式，作如下代换：t?11?x?2t22dx?(t?1)t?dt??2?t2dt 22?x2x?(t?1)22?1?x? ??t3?C?????C． 33?x?32一般的，如果积分具有如下形式

（1）?R(x,nax?b)dx，则作变换t?nax?b；

（2）?R(x,nax?b,max?b)dx，则作变换t?ax?b，其中p是m，n的最小公倍数；

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p（3）?R(x,nax?b)dx，则作变换t?cx?dnax?b． cx?d运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法

在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令x?，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x．

例25 求?dx．

x(x6?1)1t解 令x?,dx???1t1dt， t21dt2dx1d(t6?1)t51t?x(x6?1)=?1?1????1?t6dt??61?t6??6ln1?t6?C

???1?t?t6??1?1???ln?1?6??C． 6?x?例26 求?1ta2?x2dx． x4解 设x?,则dx??于是

1dt, 2t?当x?0时，有

a?xdx??x422a2?11t2??1?dt??(a2t2?1)2tdt, ?2??1?t?t4?a?x1(a?x)2222dx??(at?1)d(at?1)???C． x42a2?3a2x322122322x?0时，结果相同．

本例也可用三角代换法,请读者自行求解．

四、指数代换 例27 求?dx．

ex(e2x?1)解 设ex?t,则dx?dt, 于是

dx1?2x2?e(e?1)?t(1?t2)dt

x1t1?1?1-x-x??e?arctane?C． ???2?dt???arctant?C?2tt1?t??注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的基本积

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分公式，将常用的积分公式再添加几个（a?0）：

①?tanxdx??lncosx?C; ②?cotxdx?lnsinx?C; ③?cscdx=lncscx?cotx?C; ④?secxdx?lnsecx?tanx?C; ⑤?⑥?⑦?⑧?⑨?11xdx?arctan?C;

aaa2?x21x?a1=ln?C; dx2ax?ax2?a21a2?x2dxx2?a2dxx?a22dx?arcsinx?C（a?0）; a?lnx?x2?a2?C; ?lnx?x2?a2?C． dx5?4x?x2??例28 求?解 ?dx．

d(x?2)x?2?C． 35?4x?x2dx=?32?(x?2)2?arcsin例29 求?解 ?dx4x?92．

1d2x1?ln(2x?4x2?9)?C． ?2(2x)2?322dx4x2?9=

例30 求?解 ?dxx2?2x?3．

d(x?1)x2?2x?3=?(x?1)2?22?lnx?1?x2?2x?3?C．

x3dx． 例31 求?2(x?2x?2)2解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：

?ππ?(x?1)2?1，令x?1?tant,t???,?，则

?22?x2?2x?2?sec2t，dx?sec2tdt．

所以

x3(1?tant)32dx??sectdt 224?(x?2x?2)?sect 16