浙江省金丽衢十二校2020届高三数学上学期第二次联考试题(含解析)

（2）因为所以

，

两式相减得：所以

.

，

【点睛】本题主要考查了数列前n项和与项的关系，错位相减法，属于中档题. 21.已知抛物线：，两点，且满足为.

内有一点，

，过的两条直线，分别与抛物线交于，和

，已知线段

的中点为，直线

的斜率

（1）求证：点的横坐标为定值； （2）如果

，点的纵坐标小于3，求

的面积的最大值.

【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】 （1）设可得得到

，设

中点为，根据向量的线性运算可知

，

，

，即

，可知

，且，和三点共线，利用点差法轴，故

为定值（2）由，写出面积公式即

，联立直线与抛物线方程可求

可求最值.

【详解】（1）设中点为，则由，可推得，，这说明

，且，和三点共线.

对，使用点差法，可得同理于是（2）由得

. ，即得到

轴，所以，设，所以

，,

为定值.

，联立

,

，即

.

根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为于是

，令x=

,则

，

，

，令得，当时， ,函数为增函数，当时，，

函数为减函数，故当，即时，有最大值.

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，向量的线性运算，三角形面积，属于难题. 22.函数

（1）若为定值，求（2）求证：对任意（3）若

，

，其中

，

.

的最大值； ，有，求证：对任意

，直线

与曲线

；

有唯一公共点.

【答案】（1）【解析】 【分析】

（2）见证明；（3）见证明；

（1）n看作常数，函数求导后令导数等于零，可得，可知函数在处有极大值，可得

函数最大值（2）取得，利用放缩法得 ，

再根据裂项相消法求和即可（3）要证明当唯一解，令

，即证明

，时，关于的方程有

有唯一零点，再利用导数得函数单调性，极值

确定函数大致图象，证明只有唯一零点即可.

【详解】（1）为定值，故

时，

所以当

，当

时，

，所以函数在 ，也是最大值，所以

，令

上单调递增，在

.

，得，当

上单调递减，

时，函数有极大值

（2）由前一问可知，取得，于是

.

（3）要证明当

，

时，关于的方程有唯一解，令，即证明

有唯一零点，先证明

函数只有唯一零点. 我们先证三个引理 【引理1】【引理2】【引理3】

（由第1问取

存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定

即可）

（由【引理1】变形得到）

（可直接证明也可由【引理2推出】

证明：

下面我们先证明函数

.

存在零点，先由【引理2】得到：

.

令，可知.再由【引理3】得到

.

，于是

令，且，可知.由连续性可知该函数一定存在零点. 最多只能有一个零点.我们有 .

下面我们开始证明函数

令，则，则在递增，在递减，即.

当当

时，有时，令

恒成立，在，

上递增，所以最多一个零点. ，即.

.

时，

有极大值但其极大值

，

，于是

再令因此函数

在

，由【引理1】可以得到递增，

递减，

递增，

所以最多只有一个零点. 综上，当

，

时，函数

与

的图像有唯一交点.

【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.