福建省宁德市2017届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

∴椭圆E的方程为=1．

（2）由题意知直线PA的斜率存在，

设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），

联立

222

，得（3+4k）x+4k（﹣2k+3）x+4k﹣12k﹣3=0，

∴，

∴， =，

∵|PM|=|PN|，∴直线PB的斜率为﹣k， 用﹣k代替k，得

，

，

==，

又∵PC∥AB，∴直线PC的方程为y﹣（x﹣1），即x﹣2y+2=0．

21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣4x（a∈R）． （1）讨论函数f（x）的单调区间；

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线y=f（x）上的两点，x0=

，问：是

否存在a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求得函数的导数，讨论判别式和a的范围，分a＞2，0＜a＜2，a≤0，利用导函数分别大于0和小于0求得x的范围即可得到单调区间； =f′（2）由题意求出kAB和f′（x0）（

），由两式相等化简，令

，则t＞1，则lnt=

，

令h（t）=lnt﹣（t＞1），利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数a，使得直

线AB的斜率等于f′（x0）．

2【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣4x+alnx的导数为f′（x）=2x﹣4+=2

令g（x）=2x﹣4x+a．

2

①当△=16﹣8a≤0，即a≥2时，2x﹣4x+a≥0恒成立，可得f′（x）≥0恒成立，

（x＞0），

即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；

2

当△=16﹣8a＞0，即a＜2，可得2x﹣4x+a=0的两根为x=1±

，

②当0＜a＜2时，1+由f′（x）＞0，可得x＞1+由f′（x）＜0，可得1﹣即f（x）的增区间为（1+减区间为（1﹣③当a≤0时，1+

，1+

＞1﹣＞0，

．

，或0＜x＜1﹣＜x＜1+

．

，+∞），（0，1﹣）；

≤0，

），

＞0，1﹣

． ．

由f′（x）＞0，可得x＞1+由f′（x）＜0，可得0＜x＜1+即f（x）的增区间为（1+

，+∞），减区间为（0，1+）；

（2）不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）． 证明如下： f（x1）=alnx1+

，f（x2）=alnx2+

，

==

，

函数在x0=处的切线的斜率k=f′（x0）=f′（

）=，

由=，得

，即=．

令，则t＞1，则lnt=，

令h（t）=lnt﹣（t＞1），h′（t）=，

由t＞1，知h′（t）＞0，

∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0． ∴方程lnt=

在（1，+∞）上无解．

因此，不存在实数a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）．

四、选做题：（选修4－4：坐标系与参数方程）（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。）（共1小题，满分10分）

22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正

半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；

（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

2

【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ=2ρcosθ，利用

可得直角

坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t

即可得出．

（2）把

22

（t为参数），代入方程：x+y=2x化为：

+m﹣2m=0，

2

由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．

2

x2+y2=2x． 【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：

直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．

（2）把

22

（t为参数），代入方程：x+y=2x化为：

+m﹣2m=0，

2

由△＞0，解得﹣1＜m＜3． ∴t1t2=m﹣2m． ∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，

2

∴m﹣2m=±1，

2

解得∴实数m=1

，1．又满足△＞0． ，1．

[选修4－5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：【考点】不等式的证明．

【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值； （Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（

+

+

2

）≥（a+b+c），即可证明结论．

++≥3．

【解答】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3， ﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6）， x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6， ∴m=3；

（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（∴

+

+

≥3．

+

+

2

）≥（a+b+c），