福建省宁德市2017届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

用和差公式即可得出． （II）A=B=

，可得C=

．a=b，

sin

=4

，解得a．c=2bcos

．在△ABM中，

由余弦定理即可得出． 【解答】解：（I）∵化为：2sinBcosA=∴cosA=∴A=

．

，∴C= sin=4

．

﹣2×

cos

=28．

=4

．

，解得a=4=b． =

sin（C+A）=

，∴2sinBcosA﹣sinB，sinB≠0．

sinCcosA=

sinAcosC，

，A∈（0，π）．

（II）A=B=∴a=b，∴c=2bcos

2在△ABM中，由余弦定理可得：AM=

∴AM=2

．

18．某教师为了分析所任教班级某将考试的成绩，将全班同学的成绩做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 总计 频数 频率 3 m 13 p 9 t 0.06 0.10 n q 0.18 1 （1）求表中t，q及图中a的值；

（2）该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出．

（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人．由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=

，即可得出．

【解答】解：（1）由表格可知：全班总人数t═3+5+13+9+p=50，解得p=20，q=

=0.4．a=

=50，m=50×0.10=5，n==0.26，

=0.026．

（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人． 由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=

，可得P（X=0）=

，P（X=1）=

，P

（X=2）=，P（X=3）=．

随机变量X的分布列如下：

X P 数学期望EX=0×

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=60°，∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC=2，点O是BC的中点．

（1）求证：BC⊥平面A1AO；

（2）若A1O=1，求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值．

+1×

0 +2×

+3×

1 =．

2 3

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）连接A1C，证明BC⊥A1O，OA⊥BC，即可证明BC⊥平面A1AO；

（2）若A1O=1，求出B1到平面A1BC1距离，即可求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：连接A1C，则 ∵∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC， ∴△A1AC=△A1AB，∴A1C=A1B， ∵点O是BC的中点， ∴BC⊥A1O，

∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴OA⊥BC， ∵A1O∩OA=O， ∴BC⊥平面A1AO；

（2）解：由（1）可得BC⊥A1A，∴四边形BCC1B1是矩形， ∴C1B=2

，

，

=，

，

=

， =

，

∵A1C1=2，A1B=∴cos∠A1BC1=∴sin∠A1BC1=∴

=

设B1到平面A1BC1距离为h，则∴h=

，

∴直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值==．

20．已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0）．

（1）求椭圆E的方程；

PB、PC为椭圆E的三条弦，PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，（2）若PA、且|PM|=|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（1）由椭圆过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），列出方程组，求出a=2，b=

，由此能求出椭圆E的方程．

（2）设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），联立

2

，得（3+4k）

x2+4k（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此利用韦过定理，求出

，

yA=，用﹣k代替k，得，，从而得到kAB=，

再由PC∥AB，能求出直线PC的方程． 【解答】解：（1）∵椭圆E：0），

+

=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，

∴，又a＞b＞0，解得a=2，b=，