王宝林讲义：选修3-3《气体》题型归类

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3、利用虚拟气体状态的方法求解“变质量问题”

例3 容积一定的容器中盛有压强为10大气压，温度为400K的某种理想气体，用去30克气体并把温度降为300K时，压强变为7大气压。已知该气体在1大气压，300K时的密度为 ，求容器的容积和气体原来的质量。

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（二）临界问题

1、气缸中的临界问题

例1 ：如图所示，两个可导热的气缸竖直放置，它们的底部都由一细管连通（忽略细管的容积）。两气缸各有一个活塞，质量分别为m1和m2，活塞与气缸无摩擦。活塞的下方为理想气体，上方为真空。当气体处于平衡状态时，两活塞位于同一高度h。（已知m1＝3m，m2＝2m）

（1）在两活塞上同时放一质量为m0的物体，使m2恰好到达气缸底部。求m0

m1 m2 大小。

（2）在两活塞上同时各放一质量为m的物块，求气体再次达到平衡后两活塞h 的高度差（假定环境温度始终保持为T0）。

（3）在达到上一问的终态后，环境温度由T0缓慢上升到T，试问在这个过程中，气体对活塞做了多少功？气体是吸收还是放出了热量？（假定在气体状态变化过程中，两物块均不会碰到气缸顶部）。

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2、液柱中的临界问题

例2：如图，一上端开口，下端封闭的细长玻璃管，下部有长l1=66cm的水银柱，中间封有长l2=6.6cm的空气柱，上部有长l3=44cm的水银柱，此时水银面恰好与管口平齐。已知大气压强为p0=76cmHg。如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周，求在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度。（封入的气体可视为理想气体，在转动过程中没有发生漏气。）

点评：

练习：如图所示，一开口气缸内盛有密度为?的某种液体；一长为l的粗细平底朝上漂浮在液体中，平衡时小瓶露出液面的部分和进入小瓶中液柱的长度均活塞将气缸封闭（图中未画出），使活塞缓慢向下运动，各部分气体的温度均保持

均匀的小为

l。现用4不变。当小

瓶的底部恰好与液面相平时，进入小瓶中的液柱长度为

l，求： 2（1）此时气缸内气体的压强。大气压强为?0，重力加速度为g。

（2）若小瓶质量为m，用竖直向下的外力F向下压瓶底，当瓶底离液面高度为多少时，小瓶恰好浮不上来？

（三）液柱问题 1、“一团气”问题

2

例1：上端开口、竖直放置的玻璃管，内横截面积为0.10 cm，管中有一段15 cm长的水银柱将一些空气封闭在管中，如右图所示，此时气体的温度为27℃.当温度升高到30℃时，为了使气体体积不变，需要再注入多

3

少克水银？设大气压强为p0＝75 cmHg且不变，水银密度ρ＝13.6 g/cm.

点评：

练习：如图所示U形管左端开口、右端封闭，左管水银面到管口为18.6 cm，右端封闭的空气柱长为10cm，外界大气压强Po＝75cmHg，在温度保持不变的情况下，由左管开口处慢慢地向管内灌入水银，试求再灌入管中的水银柱长度最多为多少厘米？

2、“两团气”问题

例1一根两端封闭，粗细均匀的玻璃管，内有一小段水银柱把管内空气柱分成a、b两部分，倾斜放置时，上、下两段空气柱长度之比La/Lb=2．当两部分气体的温度同时升高时，水银柱将如何移动？

点评：

练习：如右图所示，均匀薄壁Ｕ形管，左管上端封闭，右管开口且足够长，管的横截面积为Ｓ，内装密度为ρ的液体．右管内有一质量为ｍ的活塞搁在固定卡口上，卡口与左管上端等高，活塞与管壁间无摩擦且不漏气．温度为Ｔ0时，左、右管内液面高度相等，两管内空气柱长度均为Ｌ，压强均

为大气压强ｐ0．现使两边温度同时逐渐升高，求：（1）温度升高到多少时，右管活塞开始离开卡口上升？（2）温度升高到多少时，左管内液面下降ｈ？

（四）气缸问题

1、气缸与弹簧结合类问题

例1 如图1(a)所示， 长为2L的圆形气缸可沿水平面滑动，气缸与水平面间的动摩擦因数为u，在气缸中央有一面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T，压强为大气压强p0，在墙壁与活塞间装有劲度系钦为k的弹簧，当活塞处于图(a)中位置时，弹簧恰处于原长位置，今要使气缸内气体的体积增加一倍，问气体的温度应达到多少度？(气缸内壁光滑，气缸和气体的总质量为m，弹簧质量忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

析与解 选缸内的气体为研究对象，气体的状态参量变化情况是：温度升高，压强增大，体积膨胀，活基

会压缩弹簧，若以气缸、活塞、弹簧为一整体，受到墙对此整体向在的弹力，因此气缸有向左滑动的趋势，地

面对气缸有向右的摩擦力，若气缸不相对地面滑动、弹簧的压缩长度不L，如图(b)所示，此时气缸受到的摩擦

力为f=F=kL，若气缸在温度升高的过程中发生了滑动，弹簧的压缩量x小于L，如图(c)，两种情况下气体的温度不相同。

1.假设kL≤umg，气缸不发生滑动，分析活塞的受力知气体的压强p1为：p1S＝p0S+kL

而增大，当f=umg=kx后，气缸发生滑动，活塞位置保持不变，气体作等压变化，分析活塞受力，气体的

2.假设kL＞umg，气缸会相对地面发生滑动，当气缸受到的摩擦力f小于umg时，气体压强会随温度升高而增大，当f=umg=kx后，气缸发生滑动，活塞位置保持不变，气体作等压变化，分析活塞受力，气体的

升温后A活塞第二次平衡，设AB间距离为l1′，活塞A受到四个力的作用，重力mg，上方气体压力pS，封闭气体向上的压力p′S，弹簧对活塞A的弹力假设为向下的拉力，有：

p′S=k(l1′-l0)+mg+pS ②

将③式及数据代入④式得：l1′＝

A活塞移动的距离d=(l1′-l2′)-(l1+l2)=

小结 1.此题的难点在于AB间气体后来的压强，此处不知弹簧弹力的方向，在条件不充足的情况下假设力的方向然后再加以验证，如解题中的②式若弹簧仍是向上的弹力，则k(l1′-l0)＜0，②式仍然成立，2.画图是帮助确定A活塞移动距离的好方法，分析题目时，画出物理过程图是形象化的好手段。

2、气缸与水银柱结合类问题

例2 如图3所示，一长为L的细气缸，开口端向上竖直放置，有一不计质量和厚度的活塞封闭一定质量的理想气体，话塞上端有高h cm Hg，当时大气压强为H水银柱，气体温度保持不变，(1)若从开口端吸一些水银而不使剩余的水银溢出，要满足什么条件？(2)若从开口端再注入一些水银而不溢出要满足什么条件？

解析 1.设吸取一小段在筒内长为△x的水银，设活塞的面积为S，分析水银封闭的气体的状态，初始状态p1=H0+h，V1=(l-h)S，取出水银剩余的水银不溢出，气体的压强p2=H0+h-△x，

气体的最大体积是(l-h＋△x)S，即气体体积满足V2≤(l-h+△x)S，根据玻意耳定律得这：p1V1=p2V2.

(H0+h)(l-h)S≤(H+h-△x)(l-h+△x)S

化简为 △x2-(H0-l+2h)△x≤0

按题意，△x＞0，吸取的水银长度△x满足：

△x≤H0＋2h-l,且l＜H0＋2h

2.设注入的水银在筒中的长度为△x气体的初始状态同1，气体的压强变为H0+h+△x，气体的最大体积为

(l-h-△x)S，同样根据玻意耳定律，水银不溢出满足：

(H0＋h)(l-h)S≤(H0＋h＋△x)(l-h-△x)S