甘肃交通职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

T5πππ

解析：设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T.由图知＝－＝，∴T＝π，

41264ππ2π

－，0?代入y＝sin(2x＋φ)得sin?－＋φ?＝0， ∴ω＝T＝2，将点??12??6?

ππ

2x＋?. ∵0<φ<π，∴φ＝，即y＝sin?6??6

uuuruuurπ22ππ????OB＝9－1. ∴B?3，－1?.又A?6，1?，∴OA·

1

答案：π2－1

9

13．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________． 解析：由an＋1＋(－1)nan＝2n－1得

an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1＝(－1)n[(－1)n－1an＋2n－1]＋2n＋1＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1，

即an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1， ① 也有an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3， ② ①②两式相加得

an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4.

设k为整数，则a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1)4k＋1＋4(4k＋1)＋4＝16k＋10，

14

14

于是S60＝? (a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)＝? (16k＋10)＝1 830.

k＝0

k＝0

答案：1 830

nπ

14．数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2 012＝________.

2nπ

解析：∵an＝ncos＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋

2a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2 012＝503×6＝3 018.

答案：3 018

三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)

15．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.

因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.

(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即

an＋1＋2

＝2(n≥2)． an＋2

a2＋2

当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2，

a1＋2所以当n＝1时也满足上式．

所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.

x

16．设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．

2(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn.

11

解：(1)令f′(x)＝＋cos x＝0，所以cos x＝－，

222

解得x＝2kπ±π(k∈Z)．

3

由xn是f(x)的第n个正极小值点知， 2

xn＝2nπ－π(n∈N*)．

3(2)由(1)可知，

22nπ

Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，

332nπ

所以sin Sn＝sin?n(n＋1)π－3?.

??

因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sin Sn＝－2nπ

sin . 3

当n＝3m－2(m∈N*)时， 43

sin Sn＝－sin?2mπ－3 π?＝－；

??2当n＝3m－1(m∈N*)时， 232mπ－ π?＝； sin Sn＝－sin?3?2?当n＝3m(m∈N*)时， sin Sn＝－sin 2mπ＝0.

??综上所述，sin S＝?3

，n＝3m－1(m∈N)，2??0，n＝3m(m∈N).

－

n

*

*

3

，n＝3m－2(m∈N*)，2

B11B

17．已知向量m＝?cos 2，2?与向量n＝?2，cos 2?共线，其中A，B，C是△ABC

????

的三个内角．

(1)求角B的大小；

(2)求2sin2A＋cos(C－A)的取值范围．

B11BBB1

cos ，?与向量n＝，cos 共线，所以cos cos ＝，即解：(1)因为向量m＝?22??22224B1

cos ＝±，

22

B1Bπ又因为0

2223即B＝

2π

. 3

ππ

(2)由(1)知A＋C＝，所以C＝－A，

33

π13

所以2sin2A＋cos (C－A)＝2sin2A＋cos?3－2A?＝1－cos 2A＋cos 2A＋sin 2A

??22π

＝1＋sin?2A－6?，

??

ππππ

因为0

3662π1

所以sin?2A－6?∈?－2，1?，

????

π1

2A－?∈?，2?， 所以1＋sin?6??2??

1

，2?. 故2sin2A＋cos(C－A)的取值范围是??2?

2

18．已知各项均为正数的数列{an}满足2anan－2a2＋1＋3an＋1·n＝0，n为正整数，且

1

a3＋是a2，a4的等差中项．

32