2017年浙江省杭州市中考数学试卷(含答案)

∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴∴

=

，

【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．

20．（10分）（2017?杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y． ①求y关于x的函数表达式； ②当y≥3时，求x的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；

（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案． 【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3， 则y=；

②当y≥3时，≥3 解得：x≤1，

故x的取值范围是：0＜x≤1；

（2）∵一个矩形的周长为6， ∴x+y=3， ∴x+=3，

整理得：x2﹣3x+3=0， ∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，

∴矩形的周长不可能是6； 所以圆圆的说法不对．

∵一个矩形的周长为10， ∴x+y=5， ∴x+=5，

整理得：x2﹣5x+3=0， ∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0， ∴矩形的周长可能是10， 所以方方的说法对．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．

21．（10分）（2017?杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=解得x=

x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+

，推出BN=

x）2，

，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2． 理由：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC是矩形， ∴CF=GE，

在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2．

（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°， ∴AM=BM=2x，MN=

x，

在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2， ∴1=x2+（2x+解得x=∴BN=

x）2， ， ，

+

．

∴BG=BN÷cos30°=

方法二：过点A作AH⊥BG，可以构造两个特殊直角三角形，即可解决问题．

【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中

考常考题型．

22．（12分）（2017?杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．

（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案； （3）根据二次函数的性质，可得答案．

【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得 （a+1）（﹣a）=﹣2， 解得a1=﹣2，a2=1，

函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2； 函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2， 综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；

（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1， y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0）， 当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2； 当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；

（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大， （1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 由m＜n，得0＜x0≤；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小， 由m＜n，得＜x0＜1，

综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；