2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案 文

2019年

所以AE与CD所成角为∠EAB. 在Rt△ABE中，设AB＝2， 则BE＝5， 则tan∠EAB＝＝

BEAB5， 2

5. 2

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为

5．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )

A．8 B．62 C．82 D．83 答案 C

解析 如图，连接AC1，BC1，AC.

∵AB⊥平面BB1C1C，

∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角， ∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，

AC1＝

2

＝4，

sin 30°

2

2

2

2

2

在Rt△ACC1中，CC1＝AC1－AC＝4－?2＋2?＝22， ∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82. 故选C.

6．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( ) A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 答案 D

解析 对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项

B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2

2019年

C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD；

③三棱锥E－ABC的体积为定值； ④直线B1E⊥直线BC1. 答案 ①②③

解析 因为AC⊥平面BDD1B1，BE?平面BDD1B1， 所以AC⊥BE，故①正确； 因为B1D1∥BD，

即BD∥B1E，B1E?平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以B1E∥平面ABCD，故②正确； 记正方体的体积为V，

1

则VE－ABC＝V为定值，故③正确；

6

B1E与BC1不垂直，故④错误．

8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案 a或2a

解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1， 又CF?平面ACC1A1， 所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得

ACAF2ax＝，即＝， A1FA1D3a－xa2

2

整理得x－3ax＋2a＝0，解得x＝a或x＝2a.

2019年 9．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． (1)证明 因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点， 所以OP⊥AC，且OP＝23. 如图，连接OB.

因为AB＝BC＝2

AC， 2

所以△ABC为等腰直角三角形， 1

所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.

2由OP＋OB＝PB知PO⊥OB.

因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC， 所以PO⊥平面ABC.

(2)解 作CH⊥OM，垂足为H， 又由(1)可得OP⊥CH，

因为OM∩OP＝O，OM，OP?平面POM， 所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离． 1242

由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，

233∠ACB＝45°，

25

所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝，

3

2

2

2

OC·MC·sin∠ACB45CH＝＝.

OM5

45

所以点C到平面POM的距离为. 5

10．(2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知△ABC中，AB⊥BC，BC＝2，AB＝4，分别取边AB，AC

2019年

的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BD.设点M为棱A1D的中点，点P为棱A1B的中点，棱

BC上的点N满足BN＝3NC.

(1)求证：MN∥平面A1EC； (2)求三棱锥N－PCE的体积．

(1)证明 取A1E的中点F，连接MF，CF，

∵ M为棱A1D的中点，

1

∴MF∥DE且MF＝DE，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，

21

∴DE∥BC且DE＝BC，

2∴MF∥BC，即MF∥NC， 1

且MF＝BC＝NC，

4

∴四边形MFCN为平行四边形， ∴MN∥FC，

∵MN?平面A1EC，FC?平面A1EC， ∴MN∥平面A1EC.

(2)解 取BD的中点H，连接PH， 则PH为△A1BD的中位线， ∴PH∥A1D，

∵在△ABC中，AB⊥BC，DE∥BC， ∴在空间几何体中，DE⊥DA1，

∵A1D⊥BD，DB∩DE＝D，DB，DE?平面BCED， ∴A1D⊥平面BCED，

∵PH∥A1D，∴PH⊥平面BCED，