2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案 文

2019年

对于(3)，作如图③所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 对于(4)，作如图④所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ.

2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.

证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以AB∥EF.又EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD.

因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，

BC?平面ABC，

所以AD⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，所以AD⊥AC.

2019年

押题预测

1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n?m⊥β C．α∥β?m∥β

B．m⊥n?α⊥β D．m∥n?α∥β

押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力． 答案 C

解析 构造长方体，如图所示．

因为A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B也不垂直，所以选项A，B都是假命题．

CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．

“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.

2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿

EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．

(1)求证：A1E⊥FP；

(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

押题依据 以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向．

(1)证明 在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．

因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD. 所以在题图(2)中，A1E⊥EF，

又A1E?平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，

2019年

且平面A1EF∩平面BEFC＝EF， 所以A1E⊥平面BEFC.

因为FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP.

(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行． 理由如下：

如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF， 所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE. 如图所示，取A1P的中点M，连接MK，

因为点K为棱A1F的中点， 所以MK∥FP.

因为FP∥BE，所以MK∥BE. 因为MK?平面A1BE，BE?平面A1BE， 所以MK∥平面A1BE.

故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．

A组 专题通关

1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： ①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；

③α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β. 则以上说法中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B

解析 对于①，m∥n，m⊥α?n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于③，α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β，正确；对于④，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选B.

2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )

2019年

A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 答案 D

解析 由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意； 图②中GH与MN异面，符合题意； 图③中GH与MN相交，不合题意； 图④中GH与MN异面，符合题意．

则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④. 3．(2018·抚顺模拟)给出下列四个命题：

①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；

③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C

解析 对于①，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；对于②，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于③，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于④，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确．

4．(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( ) A.

2357

B. C. D. 2222

答案 C

解析 如图，因为AB∥CD，