2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案 文

2019年

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a.

?所在平面垂直，M是CD?上异于C，D的点．跟踪演练2 (2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． (1)证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD， 又DM?平面CMD， 故BC⊥DM.

?上异于C，D的点，且DC为直径， 因为M为CD所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC， 所以DM⊥平面BMC.

又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解 当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形， 所以O为AC的中点．

连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP.

又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD.

热点三 平面图形的翻折问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发

2019年

生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．

例3 (2018·北京海淀区期末)如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．

(1)求证：DE⊥平面PCF； (2)求证：平面PBC⊥平面PCF；

(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

(1)证明 折叠前，因为四边形AECD为菱形， 所以AC⊥DE，

所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF， 又PF∩CF＝F，PF，CF?平面PCF， 所以DE⊥平面PCF.

(2)证明 因为四边形AECD为菱形， 所以DC∥AE，DC＝AE. 又点E为AB的中点， 所以DC∥EB，DC＝EB，

所以四边形DEBC为平行四边形， 所以CB∥DE.

又由(1)得，DE⊥平面PCF， 所以CB⊥平面PCF. 因为CB?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCF. (3)解 存在满足条件的点M，N， 且M，N分别是PD和BC的中点． 如图，分别取PD和BC的中点M，N.

连接EN，PN，MF，CM.

因为四边形DEBC为平行四边形，

2019年

1

所以EF∥CN，EF＝BC＝CN，

2所以四边形ENCF为平行四边形， 所以FC∥EN.

在△PDE中，M，F分别为PD，DE的中点， 所以MF∥PE.

又EN，PE?平面PEN，PE∩EN＝E，MF，CF?平面CFM，MF∩CF＝F， 所以平面CFM∥平面PEN.

思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．

(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论． 跟踪演练3 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体．

(1)求证：AB⊥平面ADC；

(2)若AD＝1，AB＝2，求点B到平面ADE的距离． (1)证明 因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，

又BD⊥DC，DC?平面BCD，所以DC⊥平面ABD. 因为AB?平面ABD，所以DC⊥AB.

又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC?平面ADC， 所以AB⊥平面ADC.

(2)解 因为AB＝2，AD＝1，所以BD＝3. 依题意△ABD∽△DCB， 所以＝

ABCD2CD，即＝. ADBD13

所以CD＝6. 故BC＝3.

由于AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，

BC3又E为BC的中点，所以AE＝＝. 22BC3

同理DE＝＝. 22

2019年 1所以S△ADE＝×1× 2因为DC⊥平面ABD，

?3?2－?1?2＝2. ?2??2?2????13

所以VA—BCD＝CD·S△ABD＝.

33设点B到平面ADE的距离为d，

113

则d·S△ADE＝VB—ADE＝VA—BDE＝VA—BCD＝， 326所以d＝

6

， 2

6. 2

即点B到平面ADE的距离为

真题体验

1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________．(填序号)

答案 (1)

解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，

又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；