2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案 文

2019年

第2讲 空间中的平行与垂直

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．

热点一 空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1 (1)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n 答案 A

解析 对于选项A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n?α， 又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正确；

对于选项B，由条件可得m⊥n或m∥n，故B不正确；

对于选项C，由条件可得m∥n或m，n相交或m，n异面，故C不正确； 对于选项D，由题意得m⊥n，故D不正确．

(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D?直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )

A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合

B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行 答案 B

2019年

解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，而BD?β，AC?B，所以由线面平行的判定定理可得

AC∥β，又因为AC?α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故选B.

思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

跟踪演练1 (1)(2018·揭阳模拟)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ B．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c C．若α∩β＝a，b∥a，则b∥α D．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a 答案 A

解析 A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ，该说法正确； B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，

在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，PAC，PBC， 交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误；

C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不满足b∥α，该说法错误； D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，

正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面α，β为平面ABCD，ADD1A1， 直线b为A1C1，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误．

(2)(2018·资阳模拟)如图，平面α与平面β相交于BC，AB?α，CD?β，点A?BC，点D?BC，则下列叙述错误的是( )

A．直线AD与BC是异面直线 B．过AD只能作一个平面与BC平行 C．过AD只能作一个平面与BC垂直

D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行 答案 C

解析 由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面α，则过AD的平面都与BC垂直，因此C错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行． 热点二 空间平行、垂直关系的证明

2019年

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2 (1)(2018·衡水调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点

E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.

①求证：AD∥EF；

②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积． ①证明 因为底面ABCD是边长为2的正方形， 所以BC∥AD.

又因为BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.

又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面PAD＝EF， 所以BC∥EF.

又因为BC∥AD，所以AD∥EF.

②解 由①知，AD∥EF，点E是PD的中点， 1

所以点F为PA的中点，EF＝AD＝1.

2

又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB， 所以AD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB. 又因为△PAB是正三角形， 所以PA＝PB＝AB＝2， 13

所以S△PBF＝S△PBA＝. 22

133

又EF＝1，所以VP－BEF＝VE－PBF＝××1＝.

326故三棱锥P－BEF的体积为

3. 6

2019年

(2)(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． ①求证：PE⊥BC；

②求证：平面PAB⊥平面PCD； ③求证：EF∥平面PCD.

证明 ①因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC. ②因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD，

又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD?平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. ③如图，取PC的中点G，

连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点， 1

所以FG∥BC，FG＝BC，

2

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 1

所以DE∥BC，DE＝BC.

2所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG. 又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.