高二自主招生讲座（解析几何）

2014自主招生（数学）解读与备考

2013、12

一、先看一个问题：

x2y2例1、（2011年自主招生华约数学试题14）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)，F1、F2ab分别为C的左、右焦点。P为C右支上一点，且?F1PF2=?3, ?F1PF2的面积为33a2．

（Ⅰ）求C的离心率e；

（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数?(??0),使得?QF2A???QAF2恒成立。若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由． 谈几个问题：

1、北约考察的重点：研究能力（意识与方法）； 2、谈谈题是怎么编的 （1）、机器 （2）、理论

结论1、设F为圆锥曲线焦点，其相应准线为l，作一直线交圆锥曲线于A、P两点，交l于M，则FM平分?AFP（或其外角）。 l yy M A P A M O x F F O x x P x2y23?1(a?2)的离心率为例2、（2013卓越联盟10）设椭圆2?.斜率为k的直线l过a43点E(0,1),且与椭圆相交于C,D两点.

① 求椭圆方程；

② 若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE,求k的值；

③ 设A为椭圆的下顶点，kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率. 证明对任意的

k，恒有kAC?kAD??2

1

结论2、设P(x)为椭圆x220,y0a2?yb2?1(a?b?0)上一定点，PA、PB为它的任意两条弦，

斜率分别为k1,k2。 若kb21?k2??（注：??）a2，则直线AB过定点（?a2?b2?a2?b2）?a2?b2x0,? ?a2?b2y0。已知椭圆x2例3、y23a2?b2?1(a?b?0)的离心率是2，且经过点M(2,1)．直线

y?12x?m(m?0)与椭圆相交于A，B两点． （1）求椭圆的方程；

（2）求△MAB的内心的横坐标．

3、设P(xx2y2结论0,y0)为椭圆a2?b2?1(a?b?0)上一定点，PA、PB为它的任意两

条弦，斜率分别为k，若kb2x01,k21?k2?0，则直线AB的斜率是定值k?a2y。

0椭圆x2y2练习1、a2?b2?1(a?b?0)的右准线l与x轴的交点为A， Q是椭圆右准线l上

异于点A的任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N。

求证直线MN过定点。

二、我们需要什么？我们能做什么？我讲什么？ 1、知识、意识、意志 例4、已知

x2a2?y2b2?1椭圆（a＞b＞0)和圆O： x2?y2?b2，过椭圆上一点P引圆O

的两条切线，切点分别为A,B.

y（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

A②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°， O求椭圆离心率的取值范围；

PB（2）直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，

N 2

x求证： 2 ? a2b22

2、补一点儿切线知识： 结论4、切线方程公式

ONOM为定值。

设点M(x0,y0)在曲线C上，则在点M存在曲线C的唯一切线l，可知： （1）若曲线C为x2?y2?r2，则切线l方程为x0x?y0y?r2；

xxyyx2y2（2）若曲线C为2?2?1(a?b?0)，则切线l方程为02?02?1；

ababxxyyx2y2（3）若曲线C为2?2?1(a?0,b?0)，则切线l方程为02?02?1；

abab（4）若曲线C为y2?2px，(p?0)，则切线l方程为y0y?2p即px?y0y?px0?0 （归纳：x0x?x2，y0y?y2，x?x0， 2y?y0x?x0 ?x，?y）

222(kx?kx0?y0)2证明：（2）设切线为y?y0?k(x?x0)，代入椭圆方程得：x2??1，由2abxyb2x0直线与曲线相切，得??0，可解得k??2，又由02?02?1，可得切线l方程

abay0为

22x0xy0y?2?1。 a2by2x2??1在点(2,3)处切线为 ； 例5、（1）曲线C:84x2y2??1在点(4,2)处切线为 ； （2）曲线C:84（3）曲线C:y?4x在点(1,?2)处切线为 。

y2x2??1外，例6、点M(5,3)在椭圆C:直线MA、MB与椭圆切于点A、B，则直线AB842的方程为 。

结论5、切点弦所在直线方程公式

设点M(x0,y0)在曲线C外，过点M存在曲线C的两条切线，设两条切线与曲线

3

的切点分别为A,B，称线段AB为曲线的切点弦。设切点弦AB所在直线为m。则： （1）若曲线C为x2?y2?r2，则切点弦AB所在直线m为x0x?y0y?r2；

xxyyx2y2（2）若曲线C为2?2?1(a?b?0)，切点弦AB所在直线m为02?02?1；

ababxxyyx2y2（3）若曲线C为2?2?1(a?0,b?0)，切点弦AB所在直线m为02?02?1；

abab（4）若曲线C为y2?2px，切点弦AB所在直线m的方程为y0y?2p(p?0)，即px?y0y?px0?0。（归纳：x0x?x2，y0y?y2，

x?x0， 2y?y0x?x0?x，?y）

22例7、已知抛物线x2?4y的焦点为F，A、B是曲线上的两动点， 且AF??FB(??0).过A、B两点分别作抛物线的切线， 设其交点为M。

（I）证明FM?AB为定值；

（II）设?ABM的面积为S，求S的最小值。

结论6、以弦的端点为切点的两条切线的交点的轨迹方程公式

??B A F O M yx点M(x0,y0)在曲线C内，设过点M的弦为AB，以弦的端点A、B为切点的两条切线分别为l1,l2，设l1,l2的交点为Q，则点Q的轨迹是一直线。 （1）若曲线C为x?y?r，则点Q的轨迹为x0x?y0y?r；

2222xxyyx2y2（2）若曲线C为2?2?1(a?b?0)，点Q的轨迹为02?02?1；

ababxxyyx2y2（3）若曲线C为2?2?1(a?0,b?0)，点Q的轨迹为02?02?1；

abab2（4）若曲线C为y?2px，(p?0)，点Q的轨迹为y0y?2px?x0，即 2 4