泛函分析第七章 习题解答1-25

第七章 习题解答

1．设（X，d）为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??}

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

解 不一定。例如离散空间（X，d）。U(x0,1)={x0}，而S(x0,1)=X。 因此当X多于两点时，U(x0,1)的闭包不等于S(x0,1)。

2. 设 C[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?f(r)(t)?g(r)(t)1 d(f,g)??rmax

a?t?b1?f(r)(t)?g(r)(t)2r?0?证明C[a,b]按d(f,g)成度量空间。 证明 （1）若d(f,g)=0，则max??f(r)(t)?g(r)(t)1?f(r)a?t?b(t)?g(t)(r)=0，即f=g

f(r)(t)?g(r)(t)1（2）d(f,g)??rmax (r)(r)a?t?b1?f(t)?g(t)r?02f(r)(t)?g(r)(t)h(r)(t)?g(r)(t)1? ??rmax (r)(r)a?t?b1?f(r)(t)?g(r)(t)21?h(t)?g(t)r?0??f(r)(t)?g(r)(t)h(r)(t)?g(r)(t)11??rmax??rmax (r)(r)a?t?ba?t?b1?h(r)(t)?g(r)(t)221?f(t)?g(t)r?0r?0?=d（f，g）+d（g，h）

因此C[a,b]按d(f,g)成度量空间。

3． 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集o1,o2?on?包含B，而且?on?B。

n?1??证明 令on?Bon?{d(x,B)?},n?1,2?.on是开集：设x0?on，则存在x1?B，使

1n11。设???d(x0,x1)?0,则易验证U(x0,?)?on，这就证明了on是 开集 nn??1 显然?on?B。若x??on则对每一个n，有xn?B使d(x,x1)?，因此

n?1n?1nd(x0,x1)?xn???x(n????)。因B是闭集，必有x?B，所以?on?B。

n?1?4. 设d（x，y）为空间X上的距离，证明d(x,y)?___d(x,y)

1?d(x,y)是X上的距离。

证明 （1）若d(x,y)?0则d(x,y)?0，必有x=y （2）因d(x,y)?d(x,z)?d(y,z)而

______t在[o,?)上是单增函数，于是1?t___d(x,y)d(x,z)?d(y,z)d(x,y)??d(x,y)?

1?d(x,y)1?d(x,z)?d(y,z)=

d(x,z)d(y,z)?

1?d(x,z)?d(y,z)1?d(x,z)?d(y,z)___d(x,z)d(y,z)__??=d(x,z)?d(y,z)。 1?d(x,z)1?d(y,z)?5. 证明点列{fn}按习题2中距离收敛与f?C[a,b]的充要条件为fn的各阶导数在 [a，b]上一致收敛于f的各阶导数。

证明 若{fn}按习题2中距离收敛与f?C[a,b]，即 d(f,fn)??1???) ——>0 (n?max?ra?t?b(r)(r)1?fn(t)?f(t)r?02?(r)?fn(t)?f(r)(t)(r)fn(t)?f(r)(t)1???)，这样 因此对每个r，?rmax——>0 (n?(r)(r)a?t?b1?fn(t)?f(t)r?02(r)(r)???)，即fn(t)在 [a，b] 上一致收敛于f(t)。 maxfn(t)?f(r)(t)——>0 (n?a?t?b(r) 反之，若的fn（t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于f（t），则任意??o，存在r0，使

?1?(r)(r)?,r?0,1,2,?r0，取Nn?Nf(t)?f(t)；存在，使当时，max ?rr?nr2r22r?ro?10?N=max{ N1?NN}，当n>N时，d(f,fn)??(r)1 max?ra?t?b(r)(r)21?fn(t)?f(t)r?0?fn(t)?f(r)(t)(r)?fn(t)?f(r)(t)??11?r.??? ??rmax?0?r(r)(r)a?t?b2r021?fn(t)?f(t)r?ro?12r?02???)。 即d(f,fn)——>0 (n?6. 设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集{f|当t?B时f（t）=0}为C[a,b]中的闭集，而集A={f|当t?B时，|f（t）|〈a}（a?0）为开集的充要条件是B为闭集。

证明 记E={f|当t?B时f（t）=0}。设{fn}?E，{fn}按C[a,b]中度量收敛于f，即在[a，b]上fn(t)一致收敛于f（t）。设t?B，则f(t)?limfn(t)?0，所以f ?E，这就证明了

n???E为闭集

充分性。当B是闭集时，设f ?A。因f在B上连续而B是有界闭集，必有t0?B，使f(t0)?maxf(t)。设 a?f(t0)???0。我们证明必有U(f,?)?A。设

t?Bg?U(f,?)，则若t?B，必有f(t)?g(t)??，于是

|g(t)|?f(t)?g(t)?|f(t)|???|f(t0)?a，所以g?A，这样就证明了A是开集

必要性。设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意tn?B,n?1,2.....若

???)，必有t0?B。 tn??t0(n?倘若t0?B，则定义fo(t)?a?|t?t0|。于是对任意t?B，fo(t)?a?|t?t0|?a因此

___fo(t)?A由于A是开集，必有??0，当f?C[a，b]且d(f,f0)??时，f?A。定义，

n=1，2。。。。。则d(fn,f0)?|tn?t0|??0(n???)

因此当|tn?t0|??时，fn?A。但是fn(tn)?a?|t?t0|?|tn?t0|?a，此与fn?A的必要条件：对 任意t?B，有fn(t)?a矛盾 因此必有t0?B。

7. 设E及F是度量空间中的两个集，如果d(E,F)?o，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。

证明 设d(E,F)???o。令 o?{x|d(x,E)??},G?{x|d(x,F)?}

22z?O?G??，所以存

?则E?O,F?G,且O?G??，事实上，若O?G??，则有

〈)在E中的点x使d(x,z?2〈)，F中点y使d(y,z?2〈)?，，于是d(x,y)?d(x,z)?d(y,z此与d(x,y)?d（E，F）??矛盾。

8. 设 B[a，b]表示[a，b]上实有界函数全体，对B[a，b]中任意两元素f，g ? B[a，b]，规定距离为d(f,g)?sup|f(t)?g(t)|。证明B[a，b]不是可分空间。

a?t?b1,t?[a,t0)2,t?[to,b)} 证明 对任意t0?[a，b]，定义ft0(t)??则ft0(t)?B[a，b]，且若t1?t2，d(ft1,ft2)?1 。 倘若B[a，b]是不可分的，则有可数

1。由于[a，nn?10211?U(ft,)，t1,t2，b]上的点的全体是不可数集。这样必有某g，使g?U(ft,)，g12nnn2211于是d(ft1,ft2)?d(ft1,gn)?d(gn,ft2)???1此与d(ft1,ft2)?1矛盾，因此B[a，b]

22稠密子集

??gn?，对任意t0?[a，b]，U(ft,)必有某

12gn，即d(g,ft0)?不是可分空间。

9. 设X是可分距离空间，?为X的一个开覆盖，即?是一族开集，使得对每个x?X，有?中的开集O，使得x?O，证明必可从?中选出可数个集组成X的一个开覆盖。 证明 若x?X，必有Ox??，使x?Ox，因Ox是开集，必有某自然数n，使U(x,)?Ox。 设

1n?xn??n?1是X的可数稠密子集，于是在U(x,11)中必有某U(xk,)，且2n2n11。事实上，若y?U(xk,)?Ox。)，则

2n2n1111d(y,x)?d(y,xk)?d(xk,x)???所以y?U(xk,)?Ox。

2n2n2nn11这样我们就证明了对任意x?X，存在k，n使x?U(xk,)且存在U(xk,)?O

2n2n1任取覆盖U(xk,)的O，记为Ok,n是X的可数覆盖。

2nU(xk,10. X为距离空间，A为X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X,.证明f(x)是X上连续

y?A函数。

证明 若x0?X,.对任意??0，存在y0?A，使d(xo,y0)?infd(x,y)?y?A?2?f(x0)??2。

取???2?0。则当d(x,x0)??时，

f(x)?infd(x,y)?d(x,y0)?d(x,x0)?d(xo,y0)?f(x0)??

因此f(x)?f(x0)??。由于x与x0对称性，还可得f(x0)?f(x)??。于是

|f(x0)?f(x)|??。这就证明了f(x)是X上连续函数。

11. 设 X为距离空间，F1,F2是X中不相交的闭集，证明存在开集G1,G2使得

G1?G2??,G1?F1,G2?F2。

证明 若x?F1，则由于x?F2，F2为闭集，必有?x?0，使U(x,?x)?F2??，令

G1??U(x,x?F1?x2)，类似G2??U(y,x?F2?y2)，其中U(y,?y)?F1??，显然G1,G2是开