超全《计算方法》定理公式总结归纳

R1,R2,R4,?一直算到龙贝格序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。

70.定义7.2：把具有n?1个节点的具有2n?1次代数精确度的插值型求积公式

?baf(x)dx??Akf(xk)称为高斯型求积公式，节点xk称为高斯点，Ak称为高斯系数。

k?0n定理7.4：对于插值型求积公式

?baf(x)dx??Pn(x)dx??Akf(xk)，其节点

ak?0bnxk(k?0,1,?,n)为高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式?n?1(x)??(x?xj)j?0n与任意的次数不超过n的多项式P(x)在区间[a,b]上正交，即

?baP(x)?n?1(x)dx?0。

1dn?n(x)?n(x2?1)n,x?[?1,1];n?0,1,?其性质有：(1) n71.n次勒让德多项式：Ln2n!dx次勒让德多项式与任意的次数不超过n?1次的多项式在区间[?1,1]上正交；(2) n次勒让德多项式的n个零点都在区间[?1，1]内。

72.结论：当积分区间为[?1，1]时，插值型求积公式的代数精确度为2n?1的充要条件是

1]上正交。 ?n?1(x)??(x?xj)与任意次数不超过n的多项式P(x)在区间[?1，j?01n73.高斯-勒让德求积公式：

??1f(x)dx??Akf(xk)（xk(k?0,1,?,n)为n?1次勒让德多

k?0bn项式的零点。求积系数Ak可用待定系数法或按Ak??lk(x)dx求出：

aAk?2） 22?(1?xk)[Ln?1(xk)]b74.对于积分

?baa?bb?a?t将积分转化为[?1,1]上的积分?a22b?a1a?bb?ab?a1a?bb?af(x)dx?f(?t)dt??(t)dt?(t)?f(?t)，， ???1?1222222f(x)dx，可通过变量代换x?然后用高斯-勒让德求积公式计算积分

?1?1?(t)dt。

定理7.5：设f(x)在[a,b]内具有2n?2阶导数，则高斯型求积公式的截断误差为

nf(2n?2)(?)b2R[f]??n?1(x)dx，??[a,b]，?n?1(x)??(x?xj)。 ?a(2n?2)!j?0hhf(x0?)?f(x0?)22?O(h2) 75.中点公式：f?(x0)?h76.数值微分公式建立的一般原则：根据数值表构造函数f(x)的插值多项式Pn(x)，并用插

??值多项式在节点处的导数值Pn(xi)作为f(xi)的近似值。

f(n?1)(?)??1(xi),(i?0,1,?,n)77.数值微分在节点处的公式为：f?(xi)?Pn?(xi)??n(n?1)!

第八章

?dy?f(x,y)?78.对于一阶常微分方程的初值问题：?dxx0?x；等距节点下，欧拉法（折线

??y(x0)?y0法）的计算公式为：yn?1?yn?hf(xn,yn),(n?0,1,2?)，x0,y0是方程的初始值；梯形法的计算公式为：yn?1?yn?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)],(n?0,1,2?)。 2(0)yn(预估公式）(n?0,1,2,?)?1?yn?hf(xn,yn)79.欧拉预估-校正公式：

yn?1 h(0)?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]（校正公式）280.定义8.1 假定yn为准确值，即yn?y(xn)，在此前提下，用某种数值方法计算yn?1的误差Rn?y(xn?1)?yn?1，称为该数值方法计算yn?1的局部截断误差。在不考虑舍入误差的情况下，考虑每一步局部截断误差的影响而求得的yn?1与y(xn?1)的误差

?n?1?y(xn?1)?yn?1称为该数值方法在计算yn?1时的整体截断误差。

81.欧拉法的局部截断误差为Rn?y(xn?1)?yn?1h2?y??(?n),xn??n?xn?1 2h3??y???(?n),xn??n?xn?1

1282.梯形法德局部截断误差为Rn?y(xn?1)?yn?183.定义8.2：若某一数值方法的局部截断误差为Rn?O(hp?1)，p为正整数，则称这个数值方法为p阶方法，或者说该方法具有p阶精度。

定理8.1：如果f(x,y)关于y满足李普希兹条件：f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，且局

部截断误差有界：Rn?12hM2,(n?1,2,?)则欧拉法式yn?1?yn?hf(xn,yn)的整体2(b?a)L?0?截断误差?n?ehM2(b?a)L(e?1)，其中L为李普希兹常数， (b?a)为求解区2L间长度，M2?maxy??(x)。

a?x?b84.定义8.3：如果某一数值方法对于任意固定的xn?x0?nh。当h?0(同时n??)时有

yn?y(xn)，则称该方法是收敛的。

85.定义8.4：用某一数值方法求解初值问题，如果当步长h固定进行计算式，仅在一个节点值yn上产生大小为?的扰动，而由这个扰动引起以后各节点值ym(m?n)的变化均不超过

?，则称这个数值方法是稳定的。

?dy?f(x,y)?? 为y??yx0?x的模型方程。 dx?86.

??y(x0)?y087.p阶泰勒方法：yn?1

h2hp(p)????????yn?hynynyn2!p!hp?1Rn?y(p?1)(?n)(p?1)!

??f(xn,yn)?yn?y???[f?ff]xy(xn,yn)?n(k)其中yn的计算公式为：?????[fxx?2fxyf?fyyf2?fxfy?fy2f](xn,yn)?yn ????yn?1?yn?c1k1?c2k2???cNkN?k?hf(x,y)nn?1??k2?hf(xn?a2h,y1??21k1)??k3?hf(xn?a3h,y1??31k1??32k2)88. N级龙格-库塔方法（N级R-K方法）： ?????kN?hf(xn?aNh,yN??N1k1????N,N?1kN?1)1?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?hf(xn,yn)?kh?89.经典的四级四阶R-K方法：?k2?hf(xn?,yn?1)22? k2h?k?hf(x?,y?)nn?322???k4?hf(xn?h,yn?k3)90. 线性多步方法的一般形式为：

yn?1??0yn??1yn?1????ryn?r?h(??1fn?1??0fn??1fn?1????rfn?r) 式中 fn?k?f(xn?k,yn?k)(k??1,0,1,?,r),?i,?j都为实数，且?r??r?0。当??1?0时，

上式为隐式方法，当??1?0时上式为显式方法。 91．四步阿达姆斯显式公式：

h[55f(xn,yn)?59f(xn?1,yn?1)?37f(xn?2,yn?2)?9f(xn?3,yn?3)](n?3,4,5,?)242515(5)hy(?n) 局部截断误差：Rn?720yn?1?yn?92.三步阿达姆斯隐式公式及局部截断误差：

h195(5)[9fn?1?19fn?5fn?1?fn?2],Rn??hy(?n) 24720h14(4)593.辛浦生公式：yn?1?yn?1?(fn?1?4fn?fn?1),Rn??hy(xn)?O(h)。

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