2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节实际问题的函数建模教师用书文北师大版

2019年

第九节 实际问题的函数建模

[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(4)指数函数模型：y＝ba＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)． (5)对数函数模型：y＝

x2

kx2019年

blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)．

(6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较

n 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 图像的变化 值的比较 y＝ax(a＞1) 递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 y＝logax(a＞1) 递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 ny＝xn(n＞0) 递增 相对平稳 随n值变化而各有不同 x存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a 3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：

2019年

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2的函数值比y＝x的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使ax0＜x0＜logax0.( )

(4)f (x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f (x)＜g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )

【导学号：66482089】

A．100只 C．300只

B．200只 D．400只

2

x2

nxB [由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.] 3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )

x y A.y＝2 12

C．y＝(x－1)

2

x1.95 0.97 3.00 1.59 B．y＝log2x 3.94 1.98 5.10 2.35 6.12 2.61 D．y＝2.61cosx

123

B [由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝2＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝(3－1)

2＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3＜0，不合要求，故选B.]

4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为( )

2019年

B [由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图像知应选B.]

5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.

【导学号：66482090】

1＋p ∴x＝

1＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)＝(1＋p)(1＋q)， 1＋p1＋q－1.]

2