高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版

例6 [思路点拨] (1)先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果;(2)根据题中条件得到函数的周期性和奇偶性,从而得到f(2018)=f(2),再由

f(2)=f(-2)得到结果.

(1)C (2)B [解析] (1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且

f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②,由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…

+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.

(2)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),可得到函数的周期是6,又f(-x)=f(x),即函数为偶函数,则f(2018)=f(2)=f(-2)=lo (6-2)=-2.

例7 [思路点拨] (1)根据奇偶性与周期性将自变量转化到同一个单调区间上,再借助函数的单调性,由自变量的大小关系得到函数值的大小关系;(2)根据函数奇偶性、单调性和周期性进行转化,即可得到结论.

(1)B (2)C [解析] (1)根据题中所给的条件f(x+4)=-f(x),可知函数f(x)是以8为周期的周期函数.

因为f(x)在[0,2]上单调递减,所以奇函数f(x)在[-2,2]上是减函数, 又f(15)=f(-1),f(8)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), 且满足-1<0<1,所以f(-1)>f(0)>f(1), 所以f(11)

∴函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和在(-1,0)上的单调性相同. ∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x为增函数,且函数f(x)为奇函数, ∴当x∈(-1,0)时,f(x)为增函数,

又当x∈(0,1)时,f(x)=2>0,

x∴当x∈(-1,0)时,f(x)<0,

∴f(x)在(2017,2018)上满足f(x)<0,

故f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)<0,故选C. 应用演练

1.A [解析] 函数y=-3为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数.

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对于选项A,函数y=1-x为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,符合题意; 对于选项B,函数y=log2|x|是偶函数,在(-∞,0)上为减函数,不符合题意; 对于选项C,函数y=-为奇函数,不符合题意;

2

对于选项D,函数y=x-1为非奇非偶函数,不符合题意. 故选A.

2.A [解析] 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f =f =-f - =- - × - =-1,

解得a=6,故选A.

3.B [解析] f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0

4.A [解析] 易知当x∈(0,2]时f(x)=2-1>0,则f(a)=f =-f <0,

x3

f(b)=f - =f =-f <0, f(c)=f -

=f(3)=-f(3-2)=f(2-3)>0,

0.1

0.1

0.1

又2>ln π>ln =,且f(x)=2-1在[0,2]上单调递增,

x∴f(ln π)>f ,∴f(a)

5.-24 [解析] ∵f(x)是周期为2的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x-8x+30,

2

∴f( )=f( -4)=-f(4- )=-24.

【备选理由】 例1考查函数奇偶性的判断;例2主要考查函数值比较大小,结合条件判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键;例3考查函数周期性的不同形式,有利于对常见周期函数形式的掌握与应用;例4为函数的奇偶性、单调性、周期性及函数的零点等综合性问题,涉及性质多,难度大,需要结合函数性质及数形结合求解.

例1 [配合例1使用] [2019·邯郸九校联考] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

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C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

[解析] C 因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数; 因为|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数; 因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数; 因为|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数. 故选C.

例2 [配合例3使用] 已知函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,且当x≤0时,f(x)=-x+ln(1-x),设a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),则a,b,c的大小关系为

( )

3

A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c

[解析] A 函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,将y=f(x+1)的图像向右平移1个单位长度,得到y=f(x)的图像,则f(x)的图像关于直线x=0,即y轴对称,则函数f(x)是偶函数. 当x≤0时,f(x)=-x+ln(1-x),为减函数,

3

∴当x≥0时,f(x)为增函数.易知log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52, ∵log32= ,log42= ,log52= ,

且0log42>log52>0,

>>>0,

则1+log32>1+log42>1+log52>1, 即log36>log48>log510>1,

∴f(log36)>f(log48)>f(log510),

即a>b>c.

例3 [配合例4使用] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2- ,且对任意的x都有

f(x+2)=

- ,则f(2018)= ( )

A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 第15页 共16页

[解析] A 由f(x+2)=- ,得f(x+4)=

-

=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以=-

f(2018)=f(2),又f(2+2)=-

,所以f(2)=- - =-2- ,即f(2018)=-2- .

例4 [配合例7使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,满足

f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-4.令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间

[-10,2]上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6= . [答案] -24

[解析] 不妨设x1>x2>x3>x4>x5>x6.因为函数y=f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2).因为

f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直线x=2是函数f(x)图像的对称轴,周期T=4,又函数f(x)是偶函

数,其图像关于y轴对称,因此直线x=4也是其图像的对称轴.因为当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,所以g(x)=f(x)-m在区间[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,只有一个零点x1,同理在区间[-2,0)上只有一个零点x2,则x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以

x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案为-24.

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