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第6讲 函数的奇偶性与周期性

考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

【课前双基巩固】 知识聚焦

1.f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 2.f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 对点演练

1.2 [解析] f(x)=x-1和f(x)=x+cos x为偶函数. 2.减 减 [解析] 根据奇偶函数图像的对称性可得. 3.1- [解析] f(-2)=-f(2)=-( -1)=1- .

4.1 [解析] 因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以

2

2

f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.

5.奇 [解析] 由

-

-1

= =-f(x),∴f(x)是奇函数.

6.x=a (b,0) [解析] 因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.

7.2 [解析] ∵f(x)=-f ,∴f(x+3)=f =-f

=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2.

- 8. [解析] 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函数的

定义可知f(0)=0,

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-

所以f(x)=

【课堂考点探究】

例1 [思路点拨] (1)考虑f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立时,a,b的取值情况;(2)根据函数奇偶性的定义进行判断.

(1)D (2)D [解析] (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.由得f(-x)=- +b= -

- - -

· - f(x)= +b= ,

- -

.若f(x)=f(-x)成立,则b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,则b-2=-b,解

得b=1,此时函数为奇函数;若b≠1,则函数为非奇非偶函数.所以函数f(x)的奇偶性与b有关,与a无关.

(2)对于①,定义域为(-1,1],所以函数不具有奇偶性;对于②,定义域为R,且

f(-x)=log3( -x)=log3 =-log3( +x)=-f(x),所以函数为奇函数;对于③,当

x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函数为奇函数;对于④,定义域为

R,f(-x)=(-x)+cos(-x)=f(x),函数为偶函数.所以选D.

例2 [思路点拨] (1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值的和为0求解;(2)奇函数的定义域中若有0,则f(0)=0,求出m,再根据奇函数的定义求值.

(1)C (2)-7 [解析] (1)令x-1=t,则f(t)= - 2

=3- ,t∈[-4,4],

∴y=f(t)-3是奇函数,

则f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,

∴函数f(x)在区间[-3,5]上的最大值、最小值之和为6,

即p+q=6,故选C.

(2)函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,即2+m=0,所以m=-1,当x≥0时,f(x)=2-1, 所以f(-3)=-f(3)=-(2-1)=-7.

例3 [思路点拨] (1)由函数y=f(x+2)为偶函数可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再结合单调性比较大小;(2)根据函数图像的平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据偶函数的单调性解不等式即可得到结论.

3

0

x第10页 共16页

(1)D (2)(0,2) [解析] (1)函数y=f(x+2)为偶函数,将函数y=f(x+2)的图像向右平移2个单位长度得到函数y=f(x)的图像,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,则函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故选D. (2)f(x)在[1,+∞)上为增函数,

将f(x)的图像向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图像,则f(x+1)在[0,+∞)上为增函数, 即g(x)在[0,+∞)上为增函数, 且g(2)=f(2+1)=f(3)=0.

不等式g(2-2x)<0等价为g(2-2x)

∵ (x)=f(x+1)为偶函数, ∴ 2-2x|<2,得0

即不等式的解集为(0,2). 应用演练

1.C [解析] 对于A,f(-x)=(-x)sin(-x)=-xsin x,是奇函数; 对于B,是非奇非偶函数; 对于C,f(-x)= - - 2

2

= ,是偶函数;

对于D,是非奇非偶函数.故选C.

2.C [解析] f(x)=a+λa,f(-x)=a+λa. 当λ=1时,f(x)=f(-x),f(x)为偶函数; 当λ=-1时,f(x)=-f(-x),f(x)为奇函数;

当λ≠1且λ≠-1时,f(x)既不是奇函数又不是偶函数. 故选C.

3.D [解析] 函数f(x+2)的图像是由f(x)的图像向左平移2个单位长度后得到的,而f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,故f(x)的图像关于y轴对称,即f(x)为偶函数,所以f(x-2)≤1即为f(x-2)≤f(-2)=f(2),又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|x-2|≤2,得-2≤x-2≤2,解得0≤x≤4.

4.-x+6 [解析] 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)-6,∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴-f(x)=f(-x)=x-6,故f(x)=-x+6,x>0.

2

2

2

2

x-x-xx第11页 共16页

- 5.-1 [解析] 由偶函数的定义得到kx+log3(1+9)=-kx+log3(1+9),即2kx=log3 =-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1.

例4 [思路点拨] (1)由题知函数f(x)的周期为2π,利用周期性将所求函数值转化到已知定义区间求解;(2)由条件可得出函数的周期为2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求

x-xf(2017)+f(2018)的值.

(1)C (2)C [解析] (1)由f(x+2π)=f(x)可知函数f(x)的周期为2π,所以

f

=f =f ,又当x∈(0,π)时,f(x)=2sin ,所以f =2sin =1,故选C.

(2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期为2的函数,故f(-1)=f(1),代入解析式,得

-a+2=(a-2)e,解得a=2,从而f(x)=

故选C.

- 故f(2017)+f(2018)=f(1)+f(0)=0+2=2,

-

变式题 1 [解析] ∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=,

∴f(x+4)= =f(x),∴函数f(x)的周期为4.

当x∈[0,2)时,f(x)=x+e,

x

∴f(2018)=f(504×4+2)=f(2)= = =1.

例5 [思路点拨] (1)将-1≤f(x-2)≤1转化为f(1)≤f(x-2)≤f(-1),利用函数单调递减转化为常规不等式求解;(2)根据f(x)为偶函数可求出m=0,从而可知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,然后比较自变量的值,再根据f(x)的单调性即可比较出a,b,c的大小.

(1)D (2)C [解析] (1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].

(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),

∴

- - -1=

2

- -1,∴ -x-m|=|x-m|,即

(-x-m)=(x-m),∴mx=0,∴m=0,∴f(x)= -1,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.又

2

a=f(log0.52)=f(|log0.52|)=f(log22)=f(1),b=f(log21.5),c=f(0),

且0

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