高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版

C.f(x)= D.f(x)=|log0.5x|

x-x2.【微点1】已知a>0且a≠1,对任意的实数λ,函数f(x)=a+λa不可能 A.是奇函数 B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

( )

3.【微点3】[2018·吕梁模拟] 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x+2)的图像关于直线

x=-2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是

A.[-2,2]

( )

B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4]

4.【微点2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-6,则当x>0时,f(x)= .

5.【微点2】若函数f(x)=kx+log3(1+9)为偶函数,则k= . 探究点二 函数的周期性及其应用

例4 (1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sin,则

x2

f

=( )

A. B. C.1 D. (2)[2018·山西45校联考] 函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),

- 若在区间[-1,1]上f(x)= 则f(2017)+f(2018)=( )

-

A.0 B.1 C.2 D.2018

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[总结反思] (1)注意周期性的常见表达式的应用.

(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).

(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

变式题 [2018·淮南二模] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)= ,当x∈[0,2)时,f(x)=x+e,则f(2018)= . 探究点三 以函数性质的综合为背景的问题

微点1 奇偶性与单调性的结合

例5 (1)[2017·全国卷Ⅰ] 函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 ( ) A.[-2,2]

B.[-1,1]

x

C.[0,4] D.[1,3]

(2)[2018·湖北师大附中5月质检] 定义在R上的函数f(x)=

- -1为偶函数,记

a=f(log0.52),b=f(log21.5),c=f(m),则 ( )

A.c

[总结反思] (1)函数值的大小比较问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用其单调性比较大小;(2)对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式,如

x1x2)求解.

微点2 奇偶性与周期性的结合

例6 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= A.-50 B.0

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( )

C.2 D.50

(2)[2018·南昌二模] 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,都有

f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]时,f(x)=lo (6+x),则f(2018)的值为 ( )

A.-3 C.2 D.3

B.-2

[总结反思] 周期性与奇偶性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值. 微点3 奇偶性、周期性与单调性的结合

例7 (1)[2018·泉州5月质检] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上单调递减,则 ( ) A.f(8)

(2)设函数f(x)是以2为周期的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2,则f(x)在(2017,2018)上是

( )

xA.增函数,且f(x)>0 B.减函数,且f(x)<0 C.增函数,且f(x)<0 D.减函数,且f(x)>0

[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

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应用演练

1.【微点1】[2018·衡水中学月考] 下列函数中,与函数y=-3的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的单调性也相同的是 A.y=1-x B.y=log2|x| C.y=- D.y=x-1

3

2

|x|( )

2.【微点2】已知f(x)为定义在R上且周期为2的奇函数,当-1≤x<0时,f(x)=x(ax+1),若

f =-1,则a=( )

A.6 B.4 C.-

D.-6

3.【微点1】[2019·长春实验中学检测] 已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为 ( )

A.(2,+∞) B. ∪(2,+∞) C. ∪( ,+∞) D.( ,+∞)

4.【微点3】[2018·天津9校联考] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2-1.设a=ln ,b= A.f(a)

x

-

,c=

-

,则 ( )

B.f(b)

2

5.【微点2】若f(x)是周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=x-8x+30,则

f( )= .

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