高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版

第6讲 函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 定义

奇函数

,那么函都有 ,那么函数f(x)是奇函数

数f(x)是偶函数

关于 图像特征

对称

2.函数的周期性 (1)周期函数

对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期. 常用结论

1.奇(偶)函数定义的等价形式:

(1)f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数.

2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)= ,则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.

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关于 对称

3.对称性与周期性之间的常用结论:

(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:

(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x= 对称; (3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点 对称;

(4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点 对称.

题组一 常识题

1.[教材改编] 函数f(x)=x-1,f(x)=x,f(x)=x+cos x,f(x)= +|x|中,偶函数的个数是 .

2.[教材改编] 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是 函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是 函数. 3.[教材改编] 已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)= - 1,则f(-2)= . 4.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x+4),则

2

2

3

2

f(2019)= .

题组二 常错题

◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域. 5.函数f(x)= - -

是 函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”)

6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线 对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点 成中心对称.

7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f ,且f(2)=2,则f(2018)= .

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8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为

f(x)= .

探究点一 函数奇偶性及其延伸 微点1 函数奇偶性的判断

例1 (1)[2018·杭州模拟] 设函数f(x)= +b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性 ( )

-

A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关

(2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 ( )

①f(x)= ;②f(x)=log3( +x);

- ③f(x)=

-

④f(x)=x2+cos x. -

A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1

[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 微点2 函数奇偶性的应用

例2 (1)[2018·北京东城区模拟] 若函数f(x)=小值分别为p,q,则p+q的值为 ( ) A.2 B.1

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- - · -

- 在区间[-3,5]上的最大值、最

C.6 D.3

(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2+m,则f(-3)= .

x

[总结反思] 利用函数奇偶性可以解决以下问题:

(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.

(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.

(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.

(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值. 微点3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)

例3 (1)[2018·广东七校联考] 已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,且函数

y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是 ( )

A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)

(2)设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式

g(2-2x)<0的解集为 .

[总结反思] 由奇偶性延伸所得对称性问题的常见形式有:

(1)若函数y=f(x)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(关于直线

x=-a对称);

(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(关于直线

x=a对称).

应用演练

1.【微点1】下列函数中为偶函数的是 ( ) A.f(x)=xsin x B.f(x)=2

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2

-x