山东省潍坊市2017届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

18．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响． （1）求该小组未能进入第二轮的概率；

（2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P

，即可得出．

（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】解：（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P

=1﹣

=．

（2）由题意可得：ξ的可能取值为0，1，2，3． P（ξ=0）=

+

P（ξ=3）=

×××

=

，P（ξ=1）=

×

×

+

×

×

=，

×××=

，

- 17 -

P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=∴ξ的分布列为： ξ P ∴Eξ=0+1×

0 ．

1 2 3 +3×=．

19．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是公比大于0的等比数列，且b1=﹣2a1=2，a3+b2=﹣1，S3+2b3=7． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）令cn=

，求数列{cn}的前n项和Tn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

（2）cn=．对n分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比

数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q＞0， 且b1=﹣2a1=2，a3+b2=﹣1，S3+2b3=7．

∴a1=﹣1，b1=2，﹣1+2d+2q=﹣1，3×（﹣1）+3d+2×2×q2=7， 解得d=﹣2，q=2．

∴an=﹣1﹣2（n﹣1）=1﹣2n，bn=2n． （2）cn=

．

①n=2k（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn=T2k=（c1+c3+…+c2k﹣1）+（c2+c4+…+c2k）

=2k+（+…+），

- 18 -

令Ak=∴

=

+…++…+

，

+

，

∴Ak=+﹣=+4×﹣，

可得Ak=﹣

﹣

．

．

﹣

∴Tn=T2k=2k+

②n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{cn}的前n项和Tn=T2k﹣2+a2k﹣1=2（k﹣1）+

+2

=2k+

﹣

．

∴Tn=

，k∈N*．

20．已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；

（1）设A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为﹣3

①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由； ②若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．

【考点】圆锥曲线的综合．

【分析】（1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±的标准方程．

，得（k2+3）x2+2kmx+m2），=

，由此能求出椭圆C．

（2）①设直线MN的方程为x=ky+m，联立

- 19 -

﹣3=0．由此利用韦达定理、直线斜率，结合已知条件，能求出直线MN恒过（0，0）．

②推导出OP⊥MN，设OP所在直线方程为y=﹣

，则

，

，

由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出k=±1时，△MNP的面积最小，并能求出最小值．

【解答】解：（1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±设椭圆方程为∴c=

，a=

=1（a＞b＞0），

，b=1，

=1；

），=

，

∴椭圆C的标准方程为

（2）①若MN的斜率不存在，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1）． 则kAM?kAN=而

=

=﹣3，

，故不成立，∴直线MN的斜率存在，

设直线MN的方程为x=ky+m，

，得（k2+3）x2+2kmx+m2﹣3=0．

联立

∴x1+x2=﹣，x1x2=，，，

∵直线AM与直线AN斜率之积为﹣3． ∴kAM?kAN=

?

=

=

- 20 -