（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解(2)4.20

（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（2）

1、（14分）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，在同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上。若国歌长度约为50秒，

问：升旗手应以多大的速度（米/秒）匀速升旗？ 解

?D：由

0条件

,?得

A0?ABD中 ?5,，

A?DB30A4?B5B?1D0 AB?106，由正弦定理得BD?203 3535 则在Rt?BCD中，CD?30 所以速度v?米/秒

米/秒的速度匀速升旗。

答：升旗手应以

2．（本题12分）

设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）

解：如图 设?AMB??,?AMC??，MC?x

则 tan??

29x,tan(???)?36x

BAtan??tan[(???)??]?36?x?29tan(???)?tan?1?tan(???)tan?MC7x77x???2362936?291229x?36?291??x?xxx36?29,即x?629?32.31时,tan?最大， 当且仅当x?x

因为?是锐角，所以此时?最大，即对球门的张角最大。

3.（本题满分12分）在复数范围内解方程|z|?(z?z)i?223?i2?i.

[解] 原方程化简为z?(z?z)i?1?i.……………………………… 3分

设z?x?yi(x,y?R),代入上述方程得x2?y2?2xi?1?i. …… 6分

?x2?y2?1, ∴?,……………………………………………………… 9

2x??1.?分

1?x??,?132?i解得? ∴原方程的解是z???223?y??.??2.………………12分

4.（本题满分15分）本题共有3个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分，第

3小题满分3分．

已知函数f(x)?2sin?x???????2sin(?x),6?2????x??,??.

?2?（1）若sinx?45，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域；

3的自变量x的值.

45,??x??,??2??,??cosx??35（3）求满足f(x)?[解]（1）?sinx?，……………………2分

分

?3?1f(x)?2?sinx?cosx??2cosx ……………………………………… 6?2?2???3sinx?cosx?453?35. …………………………………………8分

（2）

????f(x)?2sin?x??6??，………………………………………………10分

?6?5?6?2?x??，??3?x?，

1????sin?x???1， 26???函数f(x)的值域为[1,32]. ………………………………………… 12分

（3）由f(x)????x??,??2得sin?x?????3?k??,x?k??(?1)?,k?Z?6?236.… 14分

??,?x??2?或x?5?6. ………………………………………15分

b?(cos?,sin?),(??0,0??????)是平

5、（12分）设a?(cos?,(??1)sin?),面上的两个向量，且a?b与a?b互为垂直. （1）求?的值； （2）若a?b?45,tan??43,求tan?的值.

222解：（1）由题设，得(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2?(??1)sin??sin?

?(??1)sin?0????,22

??sin?sin22??0即?(??2)sin2??0??0,又??0

???2?0 故?的值为2. --------------------------4分

（2）a?b与a?b垂直时,a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)

a?b?cos?cos??sin?sin??cos(???)

?cos(???)?45,?0??????,则?--------------------------4分

tan(???)??34?2?????0?tan??tan[(???)??]?tan(???)?tan?1?tan(???)tan??724-----------------------4分

6．（本题14分）已知复数w满足w?4?(3?2w)i一个以z为根的实系数一元二次方程.

?w(1?2i)?4?3i,?w?4?3i1?2i?2?i，

，z?(i为虚数单位）

5w?|w?2|，求

?z?52?i?|?i|?3?i.

若实系数一元二次方程有虚根z?3?i，则必有共轭虚根z?3?i. ?z?z?6,z?z?10，

? 所求的一个一元二次方程可以是x2?6x?10?0

7．设虚数z满足|2z+15|=3|z+10|. (1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a，使?azaz?R？若存在，求出

a的值；若

不存在，说明理由.

7.(1)|z|=53 (2)a=±53 (0.06)

8.（本题满分10分）

a1a21?cosAsinA定义行列式运算

a3a4=a1a4-a2a3。若?2?0。

（1）求tanA的值；

（2）求函数f(x)?cos2x?tanAsinx（x∈R）的值域。 （本题满分10分）

1?cosAsinA?0解：（1）由

?2，得sinA-2cosA=0，∵cosA≠0，∴tanA=2。……4分

12)?2（2）

f(x)?cos2x?2sinx??2(sinx?32，

∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，

sinx?123当时，f(x)有最大值2；当sinx=-1，f(x)有最小值-3。

3所以，值域为[-3，2]。 9.本题满分12分)

……6分

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA?△ABC的面积为43acosB?2ccosC，

。

（1）求角C的大小； （2）若a=2，求边长c。 解：（1）∵bcosA?由正弦定理bacosB?2ccosC，①

，②

，

……5分

……2分

?2RsinB，a?2RsinA，c?2RsinC将②式代入①式，得2RsinBcosA?2RsinAcosB?4RsinCcosC化简，得sin(A?B)?sinC?2sinCcosC。

cosC?12C?

?31∵sinC≠0，∴，∴。 ……7分

（2）∵△ABC的面积为4又∵a=2，∴b=8。

3，∴2

absinC?43，∴ab=16。

……10分

1

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=22+82-2·2·8·2=52，∴c

10．（本题满分12分）

?213。 ……12分

?ABC中角A,B,C所对边分别为a,b,c，若a?23,c?2,1?tgAtgB?2cb，求?ABC的面积

S。

sin?A?B?解：由1?tgAtgB?2cb2sinC1及正弦定理，得 cosAcosB?，即 cosA?，（其余略）。

sinBsinB2cosB

11．（本题满分12分）

设复数z1?x?yi(x,y?R,y?0)，复数z2?cos??isin?(??R)，且

z1?2z1?R,z1在复平面上所对应点在直线y?x上，求z1?z2的取值范围。

2?z12?2z1?R?x2?y2?2xyi?2x?2yi?R?2xy?2y?0解：? ?? ??

x?y?0x?y?0???Rez1?Imz1?x?y?1 ?z1?1?i，

z1?z2??1?cos??22?1。

??1?sin??2????3?22sin????4?? ∴

z1?z2??2?1,?12、（本题满分12分）

已知关于t的方程t?zt?4?3i?0?z?C?有实数解，

2（1）设z?5?ai?a?R?，求a的值。