5.1数列的概念与简单表示法

§5.1 数列的概念与简单表示法

学习目标：1）了解数列概念和几种简单表示方法2）了解数列是自变量为正整数的一类函数 教学重难点：1）由前n项和公式求通项公式2）由递推关系式求通项公式 考点梳理;1．数列的概念

(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．

(2)通项公式：如果数列{an}的 与序号 _________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，?，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．

(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_________与它的前一项_________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

(5)数列的表示方法有_________、_________、_________、_________. 2．数列的分类

(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_________、_________. (2)按项的增减规律分为_________、_________、_________和________．递增数列?an＋

1_________an；递减数列?an＋1_________an；常数列?an＋1 _________an.递增数列与递减数列统

称为_________．

3．数列前n项和S?? （n＝1），

n与an的关系 已知Sn，则an＝???

（n≥2）.

4．常见数列的通项

(1)1，2，3，4，?的一个通项公式为an＝____________； (2)2，4，6，8，?的一个通项公式为an＝____________； (3)3，5，7，9，?的一个通项公式为an＝____________；

(4)2，4，8，16，?的一个通项公式为an＝____________； (5)－1，1，－1，1，?的一个通项公式为an＝___________； (6)1，0，1，0，?的一个通项公式为an＝___________； (7)a，b，a，b，?的一个通项公式为an＝___________； (8)9，99，999，?的一个通项公式为an＝ .

注：据此，很易获得数列1，11，111，?；2，22，222，?；?；8，88，888，?的通项公式

分别为1(10n－1)，2(10n8

99－1)，?，9

(10n－1)．

学习活动 学习活动一 由数列前几项写数列的通项公式

例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)－1，7，－13，19，?；

(2)246810

3，15，35，63，99，?；

(3)12，2，92，8，25

2，?；

(4)5，55，555，5 555，?.

【点拨】①注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，?的通项公式可写

1＋（－1）n＋

1成a??1，n是奇数，n＝2或an＝??sinnπ

2??，甚至分段形式an＝??等．②对于此类归纳猜?0，n是偶数想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．

变式1 写出下列数列的一个通项公式：

(1)－1，1111

2，－3，4，－5，?；

(2)3，5，9，17，33，?； (3)3，33，333，3 333，?； (4)23，－1，107，－179，26

11，?..

学习活动二 由数列前n项和求数列的通项公式

例2 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝______________．

变式2 已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an. (1)Sn＝2n2

－3n； (2)Sn＝3n

＋b.

学习活动三 由递推公式求通项公式

例3 写出下面各数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；

(2)an项和Sn＋2

1＝1，前n＝3an

；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.

【点拨】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋

f(n)时，一般用累加法求通项；当出现ana＝f(n)时，一般用累乘法求通项．还须注意检验n＝1

n－1时，是否适合所求．

变式3 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．

(1)a2，a1

1＝n＋1＝an＋n（n＋1）

；

(2)a1＝1，an＋1＝2n

an；

(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.

学习活动四 研究数列通项的性质

n

例4 在数列{a＝(n＋1)?10n}中，an?11??(n∈N*

)． (1)求证：数列{an}先递增，后递减； (2)求数列{an}的最大项．

变式4 设函数f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．

反思总结

§5.1 数列的概念与简单表示法课时训练

1．数列0.9，0.99，0.999，?的一个通项公式是( )

A．1＋??1?n?1?n

?10?? B．－1＋??10??

C．1－??1?n?1?n＋1

?10?? D．1－??10??

2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝( ) A．2n－1 B．n2 C.（n＋1）2n2 D.n2（n－1）2

3．数列{an

n}的通项an＝n2＋90

，则数列{an}中的最大项是( )

A．310 B．19 C.110

19 D.60

4．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，依照下表，则a2017等于( )

x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 A.2 B．3 C．4 D．5 5．在数列{aa?

1?n}中，a1＝2，n＋1＝an＋lg??1＋n??

，则an的值为( )

A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn C．2＋nlgn D．1＋nlgn

6．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋?＋an，则下列结论正确的是( )

A．a100＝－1，S100＝5 B．a100＝－3，S100＝5 C．a100＝－3，S100＝2 D．a100＝－1，S100＝2 7．已知数列{an}满足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ＜1”是

“数列{an}为递增数列”的________条件．

9．根据数列{an} 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7 777，?；

(2)4，－57，8

2，2，－45，?；

(3)3，5，3，5，?；

(4)1，2，2，4，3，8，4，16，?.

10．观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)．

(1)依次写出第六行的所有6个数；

(2)归纳出an＋1与an的关系式，并求出{an}的通项公式．

2

11．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，an＋1

且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性．

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，

n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．