2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计（优秀教案）

双曲线的简单几何性质教案

一、学习目标

知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.

二、学习重点、难点

1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质； 2. 教学难点：双曲线的渐近线.

三、学习过程：

（一）复习式导入：

在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该

x2y2研究双曲线2?2?1(a?0,b?0)的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.

ab这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：

我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。

x2y21双曲线2?2?1(a?0,b?0)的简单几何性质

ab（1）范围

从图形看，x的取值范围是什么？ 师生： x?a或x??a2y2x2x 从标准方程能否得出这个结论呢？ ?2?2?1?0?2?1,即x2?a2ba y的范围呢？y?R

a?x?a或x??a（2）对称性

从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x轴、y轴和原点都是对称的

那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？

提示：用?y代替原方程中的y，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。

同理，若用?x代替原方程中的x，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用?x,?y分别代替原方程中的x,y，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点

椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）

类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲

x2y2线2?2?1(a?0,b?0)的顶点有几个？顶点坐标是？(?a,0) ab 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,?b)标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。

椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长.

我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为 x2?y2?m(m?0)（4）渐近线

图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是y??bx a定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。

bxyx2y2 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线方程是y??x即??0

aababx2y2 注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程2?2?1(a?0,b?0)abx2y2中的1改为0后得到新的方程2?2?0(a?0,b?0)，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供

ab了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式） 等轴双曲线x?y?m(m?0)的渐近线方程是y??x 焦点在y轴上的双曲线的渐近线 y??22ayxx即??0 bab渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作

图过程） （5）离心率

类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的离心率。 2aa 椭圆离心率的范围是什么？（0?e?1）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。

那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？?0?a?c?e?1

bc2?a2c22 由等式c?a?b，可得：???1?e?1，不难发现：e越小（越接2aaa222近于1），

bb就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线aa的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

e对双曲线的形状有何影响呢？得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。

（三）例题解析

例1．求双曲线9y2?16x2?144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y2x2??1. 解：把方程9y?16x?144化为标准方程

16922由此可知，半实轴长a?4，半虚轴长b?3. 离心率e?c?a2?b2?5 所以，焦点坐标是(0,?5)

c5yx?，渐近线方程是??0 a443注：此问题由学生口答。

x2y2??2的渐近线方程 练习：求双曲线

916变式：已知双曲线的渐近线方程为

yx??0，且双曲线过点A(?3,23)，求此双曲线的标准方程 43x2y2???(??0)，由题意得 解：设所求双曲线的标准方程可设为

9161x2y2(?3)2(23)2?1 ??? 解得?? 所以，所求双曲线的标准方程为?9449164例2 .如图，设M?x,y?与定点F?5,0?的距离和它到直线l：x?的轨迹方程．

分析：若设点M?x,y?，则MF?则容易得点M的轨迹方程．

165的距离的比是常数，求点M54?x?5?2?y2，到直线l：x?1616的距离d?x?，55

x2y2??1的右焦点F2倾斜角为30?的直线交双曲线于A,B两点求｜AB｜ 例3 .过双曲线36解：直线AB：y?3(x?3) 3?3y?(x?3)??2 由?232 消去y，得 5x?6x?27?0

?x?y?1?6?3解得 x1??3,x2?9923 代入直线AB，得A(?3,?23), B(,?) 555所以，AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?163 5（四）课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线与渐近线

xyx2y2x2y2（1）双曲线2?2??(??0)的渐近线方程是2?2?0即??0

mnmnmnxyx2y2（2）渐近线是??0的双曲线方程可设为2?2??(??0)

mnmn（五）作业布置 课本P61A3,4B1 （六）教学反思

本节内容是人教A版选修2-1第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几

何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。

但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。课程标准明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：

①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中a,b,c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：

①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）情感目标：

通过本课时对双曲线几何性质的研究、探讨，让不同层次的学生都能切实体验成功的喜悦，感受数学的美和魅力，激发创造的激情，培养审美的情趣。

根据本节的教学内容和课程标准以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把对双曲线的几何性质的理解和简单应用作为本节课的重点。

渐近线是双曲线的特有性质，也是教学的难点，但课程标准要求相对较低，不要求严格证明，为了突破难点，通过问题引导学生从已有认知水平出发，来发现双曲线的渐近线，然后充分利用多媒体展示，帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义 。

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学通过类比，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。