[同步练习]2016高中数学人教A版必修5课时作业19 专题研究一 数列通项的求法

【高考调研】2015年高中数学 课时作业19 专题研究一 数列通项的

求法 新人教版必修5

1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N)，则a100的值是( ) A．9 900 C．9 904 答案 B

解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2·＋2

＋2＝9 902.

，则这个数列的第n项an为( )

1＋2anB．2n＋1 D.1 2n＋1B．9 902 D．11 000

*

2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝A．2n－1 C.1

2n－1

an答案 C

an11

解析 ∵an＋1＝，∴＝＋2.

1＋2anan＋1an?1?1

∴??为等差数列，公差为2，首项＝1. ?an?

a1

11∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝. an2n－1

1

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于( )

nA．2＋lnn C．2＋nlnn 答案 A

B．2＋(n－1)lnn D．1＋n＋lnn

4．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )

A．2－1 C．2＋1 答案 A

5．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：

第1行 第2行 1 2 3 nnB．2

n－1

－1

D．4－1

n

第3行 …… 4 5 6 7 …… 则第8行中的第5个数是( ) A．68 C．133 答案 B

解析 前7行中共有1＋2＋2＋…＋2＝2－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.

6．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(Sn， Sn－1)在直线x－y－2＝0上，则数列{an}的通项公式为__________．

答案 an＝4n－2

7．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)，(n∈N)，则bn＝__________.

－答案 n－1

3·2

8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝答案 n 解析 an＝＝

n*

2

6

7

B．132 D．260

nn＋1

an，则数列{an}的通项公式an＝________. nanan－1a3a2

··…···a1 an－1an－2a2a1

n－132··…··＝n. n－1n－221

n9．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________. 答案 2×3

n－1

－1

解析 设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A. 又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2.则A＝1. ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1

＝3. an＋1

∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3. 则an＋1＝2×3

n－1

，即an＝2×3

n－1

－1.

21

10．(2013·新课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an33＝________.

答案 (－2)

n－1

21

解析 ∵Sn＝an＋，①

3321

∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋.②

3322an①－②，得an＝an－an－1，即＝－2.

33an－121

∵a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.

33

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列． ∴an＝(－2)

n－1

.

11．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________． 答案

21 2

ann解析 在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1

＝2(n－1)．

把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＋2n－

2

n－

＝

ann2－n＋333333n－n，∴an＝n－n＋33.∴＝＝n＋－1≥233－1，当且仅当n＝，即n＝33

nnnn2

2

an3353*

时取等号，而n∈N，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，

n55an3363215321an21

当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵＞，∴的最小值是. n66252n2

12．(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和． 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.

??3a1＋3d＝－3，

由题意得?

?a1a1＋da1＋2d?

＝8，

解得?

?a1＝2，???d＝－3

或?

?a1＝－4，???d＝3.

所以由等差数列通项公式，可得

an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故an＝－3n＋5或an＝3n－7.

(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

??－3n＋7， n＝1，2，

故|an|＝|3n－7|＝?

?3n－7， n≥3.?

记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n＝1时，S1＝|a1|＝4； 当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；

当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋n－

＋2

n－

3211

＝n－n＋10. 22

当n＝2时，满足此式．

4， n＝1，??

综上，Sn＝?3211

n－n＋10， n>1.?2?2?重点班·选作题

1

13．已知Sn＝4－an－n－2，求an与Sn.

2解析 ∵Sn＝4－an－

12

n－2

1

，∴Sn－1＝4－an－1－n－3. 2

11

∴Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋n－3－n－2.

2211n－1

∴an＝an－1＋().

22∴

an12

n－nan－1

12

＝2.∴2an－2

nn－1

an－1＝2.

n－1

∴{2an}是等差数列，d＝2，首项为2a1. 1

∵a1＝S1＝4－a1－－1＝2－a1，

2∴a1＝1.∴2an＝2＋2(n－1)＝2n. 1n－1

∴an＝n·().

2

111n＋2

∴Sn＝4－an－n－2＝4－n·n－1－n－2＝4－n－1.

2222

14．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲的面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．

3

(1)设全区面积为1,2002年底绿洲的面积为a1＝，经过1年(指2003年底)绿洲面积

10

n