上海市虹口区2019年高三数学三模试卷（理科） Word版含解析

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出【解答】解：∵等比数列{an}的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3， ∴

，

（a1+a2+…+an）．

由|q|＜1，解得，

a1+a2+…+an=

，

则

（a1+a2+…+an）=

=16．

故答案为：16．

5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f﹣1（x） ，则f（1）+f﹣1（﹣4）= ﹣1 ．【考点】反函数．

【分析】根据f（x）存在反函数f﹣1（x），得出f（x）是定义域上的单调函数，求出a的值以及f（x）的解析式，即可求出f（1）+f﹣1（﹣4）的值． 【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣a）|x|=且f（x）存在反函数f﹣1（x），

∴f（x）是定义域R的单调增函数， ∴a=0， ∴f（x）=

，

，

∴f（1）+f﹣1（﹣4）=1+（﹣2）=﹣1． 故答案为：﹣1．

6．在数学解题中，常会碰到形如“

”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，

b是非零实数，且满足=tan，则= ．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】先把已知条件转化为tan==tan（+θ）．利用正切函数的周期

性求出，即可求得结论．

【解答】解：因为tan==tan（+θ）．且tanθ=

∴+θ=kπ+

）=

．

∴θ=kπ+∴=

．tanθ=tan（kπ+

故答案为：

．

7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于

．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】设球的半径为5，圆锥底面半径为3，则圆锥的高为9，代入体积公式计算即可得出比值．

【解答】解：设球的半径为5，则圆锥的底面半径为3，∴球心到圆锥底面的距离为=4．

∵内接圆锥的轴截面为锐角三角形，∴圆锥的高为4+5=9． ∴V球=∴V球：V圆锥=故答案为：

．

，V圆锥=27π=

．

=27π．

8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为

（结果用最简分数表示）．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出基本事件总数，再求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数，由此能求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率． 【解答】解：某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放， 基本事件总数n=

，

这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数m=∴这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为： p==

=

．

，

故答案为：

．

9．若双曲线x2﹣

=1的一个焦点到其渐近线的距离为2 ，则该双曲线的焦距等于 6 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．

【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0， 焦点坐标为F（c，0）， 则焦点到其渐近线的距离d=

=

=b=2

，

则c====3，

则双曲线的焦距等于2c=6， 故答案为：6

10．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为 【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】设z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），可得=

，化为：6a+8b﹣7=0．再利用原点到直线的距离公式即可得出．

．

【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R）． ∵|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位）， ∴

=

，

化为：6a+8b﹣7=0． ∴|z|=

的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b﹣7=0的距离，：

=

，

故答案为：

．

11．在极坐标系中，圆ρ=2sinθ被直线ρsin（θ+）=截得的弦长为 2 ．

【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】利用

，ρ2=x2+y2，即可把极坐标方程化为直角坐标方程，进而得出弦

长．

【解答】解：圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1，可得圆心C（0，1），半径r=1． 直线ρsin（θ+

）=展开为：

+

ρcosθ=，可得直角坐标方程：

﹣

1=0．

∵圆心C满足直线方程：0+1﹣1=0， ∴截得的弦长=2r=2． 故答案为：2．

12．过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB的面积为 6 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得A的坐标（﹣4，4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得B的坐标，由△OAB的面积为|OF|?|xA﹣xB|，计算即可得到所求值．

【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），准线为y=﹣2， 由抛物线的定义可得|AF|=yA+2=6， 解得yA=4，可设A（﹣4，4）， 设B（m，

），由A，F，B共线可得，

kAF=kBF，即解得m=2即有B（2

=，

（﹣4舍去）， ，1），

﹣2

|=6

．

则△OAB的面积为|OF|?|xA﹣xB|=?2?|﹣4

故答案为：6．

13．若关于x的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为 （﹣∞，﹣2） ．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】首先进行转化，再对x进行分类讨论，由二次函数的图象以及性质得到a的范围．

【解答】解：∵方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根， ∴函数y=2x|x|﹣a|x|﹣1有3个不同的零点， ∴y=

，