喀蔚波副教授 医用物理学 第二章 流体的运动

滞性对流体运动的影响不同，可分别将流体抽象为不可压缩流体、非黏性流体和既不可压缩又无黏性的理想流体（ideal fluid）等理想模型，即突出了运动的主要特征，又简化了问题。

三、流场、流线和流管

流体运动时，流体质元（宏观大、微观小的区域中流体分子的集合）的运动情况，一般是各不相同的。在流体运动过程中，任一瞬间，在流体占据空间的任一点都具有一定的速度，每一点都有一个流速矢量，通常将由这些流速矢量构成的空间称为流速场，简称流场（flow field），如图2-1所示。

当流体做规则运动时，为了形象描述流场，引入流线（streamline），任一瞬间，流线上的任意一点的切线方向，与流过该点流体质元的速度方向一致。在流体内部，由流线围成的细管称为流管（stream tube），在流体力学中，往往取一流管作为代表加以研究。图2-2显示了流

（a）流场 （b）流线 （c）流管 图2-1流场、流线和流管 图2-2流体绕过不同障碍物时的流线 体绕过不同障碍物时流场的变化。

流体运动时，若流线无头无尾形成闭合曲线，这样的流动称为有旋流动，如河流中的涡旋，对应的流场为有旋场；若流线有头有尾不形成闭合曲线，这样的流动称为无旋流动，对应的流场为无旋场。

一般而言，当某时刻一个物理量在空间中每一点都有确定值，即物理量在空间有确定分布时，则该物理量在此空间形成一个场。例如在第一章遇到的重力场、本章要

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讨论的流场和下面要涉及的电磁场。如果物理量是标量，这个场就是一个标量场；若是矢量，则是一个矢量场。在标量场中，常用等值面（如等温面、等势面）形象地表示物理量的空间分布状态。在矢量场中，则常用矢量线描述场中物理量的分布（如用流线表示流场），不仅可以用矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量的方向，还可以用矢量线的稀密表示矢量的数值。随时间变化的场叫做可变场或非稳定场（如可变电磁场），不随时间变化的场则叫做稳定场。

1.2 定常流动

一般情况下，流场中各点的流速随位置和时间的变化而改变，流线的形状亦随时间而变，这种随时间而变化的流动称为非定常流动。如果流场中各点的流速不随时间变化，这种流动称为定常流动。对于定常流动，流线不随时间改变，不同时刻的流线不相交；流管形状也不随时间改变，流管内的流体不会流出到管外，流管外的流体不会流入到管内。 1.3 连续性方程

流体作定常流动时，在任一细流管内取与流管垂直的两个截面ΔS1和ΔS2与流管构成封闭曲面，流体由ΔS1流入，从ΔS2流出，如图2-3所示。当选取的流管截面足够小时，流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的。若设ΔS1和ΔS2处流体的速度分别为v1和v2，流体的密度分别为?1和?2，由于流体是作定常流动，流管内各点流体的密度不随时间改变，因此封闭曲面内流体的质量不会有变化，即在Δt时间内，从ΔS1流入封闭曲面流体的质量m1应等于由ΔS2流出流体的质量m2，即

m1= m2

图2-3流管中流量的连续性 ?1（v1Δt）ΔS1=?2（v2Δt）ΔS2

?1 v1ΔS1=?2 v2ΔS2

上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的，一般可以写成

Q m?=? v?ΔS=常量 （2-1）

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式中Q m称为质量流量。该式表明：在定常流动中，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的质量相同，该式称为定常流动的连续性方程，也称为质量流量守恒定律。

对于不可压缩流体，?为常量，则有

v1ΔS1= v2ΔS

及

Q v?= v?ΔS=常量 （2-2）

式中Q v 称为体积流量。该式表明：不可压缩流体作定常流动时，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的体积相同，该式称为不可压缩流体的连续性方程，也称为体积流量守恒定律。

连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒。这些方程均是对细流管而言，若不是细流管，则v、??应理解为其在截面ΔS上的平均值。

由连续性方程可知：（1）不可压缩流体作定常流动时，流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量。（2）同一流管，截面积较大处流速小；截面积较小处流速较大。（3）流场中，流线密集处流速较大；流线稀疏处流速较小。

河道宽的地方水流比较缓慢，而河道窄处则水流较急，这已是人们熟知的常识。 [例2-1] 正常人心脏在一次搏动中泵出血液70 cm3 ，每分钟搏动75次。心脏主动脉的内径约2.5cm，腔静脉的内径约3.0cm，毛细血管横断面的总面积比主动脉的横断面面积约大???～???倍。若将血液的循环看作是不可压缩流体在刚性管道中的定常流动，试求：主动脉、腔静脉和毛细血管的平均血流速度。

70?10?6?75-3?1m?s?8.8?10?5m?3?s?1 [解]：心脏输出血液的流量Q=

602DA3.14?(2.5?10?2)22?m?4.9?10?4m2 主动脉的横截面积SA??44上、下腔静脉的总横截面积

2DV3.14?(3.0?10?2)2?22SV???2?m?1.4?10?3m2

44根据连续性方程有：

Q8.8?10?5主动脉的平均血流速度vA??m?s-1?0.18m?s-1 ?4SA4.9?10 7

Q8.8?10?5-1?2-1腔静脉的平均血流速度vV? ?m?s?6.3?10m?s?3SV1.4?10毛细血管的平均血流速度为4.1?10?4~8.2?10?4m?s?1

由此可见，血液经主动脉、大动脉、动脉、小动脉、微动脉到毛细血管，虽各类血管的管径愈来愈小，但其总截面积愈来愈大，所以血流速逐渐减慢。血液经毛细血管流入微静脉、小静脉、静脉、腔静脉，回到右心房，各类血管的总截面积又逐渐减小，回流在各种静脉血管的血液流速逐渐增大。

§2 理想流体的伯努利方程

2.1 理想流体的伯努利方程

1738年伯努利（D. Bernoulli）提出了著名的伯努利方程。

在作定常流动的理想流体中，取任一细流管，设在某时刻t，流管中一段流体处在a1a2位置，经过很短的时间Δt，这段流体到达b1b2位置，如图2-4所示。这段流体的机械能有何变化呢？由于是理想流体作定常流动，流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化，因此b1a2段流体的运动状态在流动过程中没有变化，即该段流体的动能和重力势能没有改变，只需考虑a1b1和a2b2两段流体的机械能E1、E2的改变。

由连续性方程可知，a1b1和a2b2两段流体的质量、体积和密度均相等，可分别设为Δm、ΔV和?。如图2-4所示，设这两段

流体在重力场的高度分别为h1和h2、速度分别为v1和v2、压强分别为p1和p2。则这两段流体的机械能增量为

112E2?E1?(?mv2??mgh2)?(?mv12??mgh1)

22121??m[(v2?gh2)?(v12?gh1)]

22121???V[(v2?gh2)?(v12?gh1)]

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图2-4伯努利方程的推导