吉林省舒兰市第一中学2016届高三上学期数学（理）验班周测题十一

由正视图可知AD＝6且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中，

PA＝PD2＋AD2＝?62?2＋62

＝63(cm)．

20．A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与

BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线.

(2)解：如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

1

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

2

21．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：

C1，O，M三点共线．

证明：∵C1∈平面A1ACC1， 且C1∈平面DBC1，

∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点． 又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1. ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，

∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线． ∵O为A1C与截面DBC1的交点， ∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1， 即O也是两平面的公共点，

∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线． 22.已知函数f?x??1?alnx（a为参数） x（1）若a?1，求函数f?x?单调区间； （2）当x??0,e?时，求函数f?x?的最小值；

（1?）?e?（1?）（3）求证：

1nn1nn?1?e?2.718??????,n?N?

*1aax?1??2，定义域为?0,??? 2xxxx?1当a?1时，f??x??2，令f??x??0得x?1

x解：（1）f??x???所以f?x?的单调递增区间为?1,???，单调递减区间为?0,1?------------------------4分 （2）f??x???1aax?1??2 2xxx①当a?0时，f??x??0对x??0,???成立，所以f?x?在区间?0,e?上单调递减，所以f?x?

11?alne??a ee11②当x??0?a?0时，；令f??x??0?x?

aa11（ⅰ）若e?，即a?时，则f??x??0对x??0,e?成立，所以f?x?在区间?0,e?上单调

ae11递减，所以f?x?在区间?0,e?上的最小值为f?e???alne??a

ee在区间?0,e?上的最小值为f?e??（ⅱ）若0?111?1??1??e?a?时，f?x?在?0,?单调递减，在?,e?单调递增，在x?处

aae?a??a?有极小值。所以f?x?在区间?0,e?上的最小值为f?综

上

1?1? ?a?aln?aa??，

得

f?x?min??f????f???e??11???a?a??ee??1?1??1??a?alna?????a?e??a?nn?1------------------------------------------8分

?1??1?（3）对?1???e??1???n??n?即

两边取对数，得nlnn?1???1??1??1?n?1ln????1?? n??n?111?1?1?ln?1???。令x?1?，只要证1??lnx?x?1?1?x?2?

nxn?1?n?n1?x?0?的最小值为f?1? x11所以f?x??lnx??f?1??1?x?0??1??lnx

xx证明如下：由（1）知a?1时，f?x??lnx?又因为当1?x?2时，上式等号取不到， 所以1?1?lnx?1?x?2?------------------------------------① x令g?x??x?lnx?1?1?x?2?, 则g??x??1?1x?1??0?g?x?在?1,2?上是增函数 xx?g?x??g?1??0?lnx?x?1-----------------------------------------②

所以综合①②，得

x?ln?x?1??x,?1?x?2? x?1则

令

1x?1?,n1?1?1?ln?1???n?1?n?n

，所以原不等式成立

-----------------------------------12分一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

????????1．设a0,b0分别是与a,b向的单位向量，则下列结论中正确的是( )

????????????A．a0?b0 B．a?b?1

00????????????C．|a0|?|b0|?2 D．|a0?b0|?2

【答案】C

????????2．在菱形ABCD中，若AC?2,则CA?AB=( )

????2?2A． B． C．ABcosA

【答案】B

D．与菱形的边长有关

3．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=

1 3(

11OA+OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的( ) 22A．AB边中线的中点 C．重心

D．AB边的中点

B．AB边中线的三等分点 (非重心）

【答案】B

????????4．己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若OH??OG，则?=( )

A．3 【答案】A

B．2

C．

1 2D．

1 3????????????????????????????5．如图，在?ABC中，|BA|?|BC|，延长CB到D，使AC?AD,若AD??AB??AC，

则???的值是( )

A．1 【答案】B

B．3 C．-1 D．2