2020最新高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案(考试专用)

2x＋xf′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，

x＋1函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(0)＝0，

因此xn＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 故2xn＋1－xn≤

2

2

xnxn＋1

2

(n∈N)．

*

(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 1

所以xn≥n－1.

2由

xnxn＋1

2

≥2xn＋1－xn得

1?11?

－≥2?－?>0， xn＋12?xn2?1

11?11?11?

－?≥…≥2n－1?－? 所以－≥2??xn2?xn－12??x12?＝2

n－2

， 12

n－2

故xn≤.

11*

综上，n－1≤xn≤n－2(n∈N)．

22押题预测

已知数列{an}满足a1＝2，点(an，an＋1)在直线y＝3x＋2上．数列{bn}满足b1＝2，1＋…＋. bn＋111

＝＋an＋1a1a2

an(1)求b2的值；

(2)求证：数列{an＋1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； 1?1??1??1?33. (3)求证：2－n－1≤?1＋??1＋?…?1＋?<

2·3?b1??b2??bn?16

押题依据 数列与不等式的综合是高考重点考查的内容，常以解答题的形式出现，也是这部分的难点，考查学生的综合能力． (1)解 由已知得a2＝3a1＋2＝8，

b21b21

所以＝，＝，解得b2＝4.

a2a182

(2)解 由条件得an＋1＝3an＋2， 则

an＋1＋13an＋3

＝＝3， an＋1an＋1

9

所以数列{an＋1}是以a1＋1为首项，3为公比的等比数列． 即an－1

n＋1＝(a1＋1)·3

＝3n，

所以数列{an*

n}的通项公式为an＝3－1(n∈N)． (3)证明 由题设

bn＋1111

a＝＋＋…＋a，① n＋1a1a2n知bna＝1＋1＋…＋1

a (n≥2)，② na1a2

n－1

由①－②，得bn＋1a－bn＝1

， n＋1anan则bn＋11a＝＋bn， n＋1an即

1＋bnb＝an(n≥2)．

n＋1an＋1

当n＝1时，2－12×1＝32

， 1＋1b＝3<33

， 1216

所以原不等式成立；

当n≥2时，???

1＋1b????1＋1??1?1

??

b2

??…??

1＋bn??

＝

1＋b11＋b21＋b·b·…·bn

12bn＝11＋b11＋b2b·b··…·1＋bn－1

·(1＋bn)

12b3bn＝13a22×4×a·…·an－1·(1＋bn) 3an＝38×8

a·(1＋bn) n＝3?

?1＋bn?a?

n??＝3???1a＋bn?nan??

＝3???1a＋1＋…＋1a＋1?1a2

n－1an??

，

先证明不等式左边，当n≥2时， 因为111a＝n>n，

n3－13所以3??11

1?a＋＋…＋?1a2an??

10

1??111

>3?＋2＋3＋…＋n?

3??a133

?1－1???11??9?3?

＝3?＋

21?1－

3??

n－1

1

＝2－n－1.

2·3

1?1?11

所以3?＋＋…＋?≥2－n－1. an?2·3?a1a2再证明不等式右边，当n≥2时， 111＝n＝≤， n－2

an3－19·3－18·3n－21??11

所以3?＋＋…＋? 1

?a1a2an?

1???11?1

≤3?＋?1＋＋…＋n－2??

3???a18?3

?111－31?

＝3?＋·

281?1－

3??

n－1

1??33?13?＝3?＋?1－n－1??<.

?216?3??16

1?1??1??1?33成立．

所以2－n－1≤?1＋??1＋?…?1＋?<

2·3?b1??b2??bn?16综上所述，不等式成立．

A组 专题通关

1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A．2 062 C．2 064 答案 B

解析 由题意可得，这些数可以写为1,2,3,2,5,6,7,8,3，…，第k个平方数与第k＋1个平方数之间有2k个正整数，而数列1,2,3,2,5,6,7,8,3，…，45共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后

11

2

2

2

2

2

2

2

B．2 063 D．2 065

的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.

?24?42

2．已知数列{an}满足0

?

an?

{an}的前n项和为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为( ) A．60 B．61 C．121 D．122 答案 B

4422

解析 由a1－8a1＋4＝0，得a1＋2＝8，

a1

42

所以an＋2＝8＋8(n－1)＝8n，

an2?224?所以?an＋?＝an＋2＋4＝8n＋4， a?

n?

an22

所以an＋＝22n＋1，即an－22n＋1an＋2＝0，

an22n＋1±22n－1

所以an＝＝2n＋1±2n－1，

2因为0

所以an＝2n＋1－2n－1，Sn＝2n＋1－1， 由Sn>10得2n＋1>11， 所以n>60.

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N)，Sn为数列{an}的前n项和，则( ) A．an≥2n＋1 C．an≥2

n－1

*

B．Sn≥n D．Sn≥2

n－1

2

答案 B

解析 由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，

an－an－1≥2，

∴a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2(n－1)， ∴an－a1≥2(n－1)，∴an≥2n－1. ∴a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1， 即Sn≥(1＋2n－1)＝n.

2

6an＋1－1111**

4．数列{an}满足a1＝，an＝(n∈N)，若对n∈N，都有k>＋＋…＋成立，则最

5an－1a1a2an小的整数k是( ) A．3 B．4 C．5 D．6

12

n2