2020最新高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案(考试专用)

则2fn′(2)＝2＋2×2＋…＋(n－1)2

2

2n－1

＋n·2，②

n－1

n由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋2＋…＋21－2nn＝－n·2＝(1－n)·2－1， 1－2所以fn′(2)＝(n－1)·2＋1. (2)证明 因为fn(0)＝－1<0，

nn－n·2

n2??2?n??1－?3??32??????－1＝1－2×?2?n≥1－2×?2?2>0，

fn??＝?3??3?2?3?????

1－3

?2?所以fn(x)在?0，?内至少存在一个零点， ?3?

又fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1

>0，

?2?所以fn(x)在?0，?内单调递增， ?3?

2??0，因此fn(x)在??内有且仅有一个零点an， ?3?

x－xn＋1

由于fn(x)＝－1，

1－x＋1

an－ann所以fn(an)＝－1＝0，

1－an11n＋1112

由此可得an＝＋an>，故

2222311n＋11?2?n＋11?2?n所以0

222?3?3?3?热点三 数列的实际应用

数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，求解方法既要用到不等式知识，又要用到数列的基础知识，经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用． 例3 (2018·浙江省名校协作体联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋(－1)(n∈N)．

??－1????是等比数列； (1)证明：an＋

3??

nn*

119

(2)当k是奇数时，证明：＋

akak＋12111

(3)证明：＋＋…＋<3.

a1a2an证明 (1)∵an＋1＝2an＋(－1)，

n 5

?－1?

∴an＋1＋

3

n＋1

?－1???＝2?an＋?， 3??

n?－1?2

又a1＋＝，

33

??－1??2

?是首项为，公比为2的等比数列． ∴数列?an＋

3?3?

n?－1?22－?－1?

(2)由(1)可知an＋＝，即an＝，

333当k是奇数时，

333?2－1?＋3?2＋1?9·29

＋＝k＋k＋1＝

1933

＋

1

1

k＋1

kknnnn111?11??11??1＋1?<3?1＋12＋…＋1n?＝3?1－1n?<3；

∴＋＋…＋＝?＋?＋?＋?＋…＋?aaaaaa??222??2?

a1a2

an?

12

??

34

??

n－1n?????

11933当n为奇数时，＋

anan＋1222

1?111?11??11??1＋1?＋1<3?1＋12＋…＋n1

∴＋＋…＋＝?＋?＋?＋?＋…＋?－1＋n???22＋1?a1a2an?a1a2??a3a4??an－2an－1?an?2211??1??11

<3?＋2＋…＋n－1＋n?＝3?1－n?<3.

22??2??22111

∴＋＋…＋<3.

a1a2an思维升华 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下：

(1)利用数列(或函数)的单调性．

(2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后用裂项相消法求和． (3)数学归纳法．

跟踪演练3 (2018·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋(c>0，n∈N)． (1)证明：an＋1>an≥1；

can*

?1?*

(2)若对任意n∈N，都有an≥?c－?n－1，证明：

?2?

①对于任意m∈N，当n≥m时，an≤(n－m)＋am； ②an≤

5n－1

. 2

*

cam 6

证明 (1)因为c>0，a1＝1， 所以ac*

n＋1＝an＋a>an(n∈N)， n下面用数学归纳法证明an≥1. ①当n＝1时，a1＝1≥1； ②假设当n＝k时，ak≥1，

则当n＝k＋1时，ack＋1＝ak＋a>ak≥1. k所以当n∈N*

时，an≥1. 所以an＋1>an≥1.

(2)①由(1)知当n≥m时，an≥am≥1， 所以accn＋1＝an＋a≤an＋，

nam即accn＋1－an≤a，累加得an－am≤(n－m)． mam所以acn≤a(n－m)＋am. m②若c>18c2，当m>－2

?2c－1?

2时，

a1m>???

c－2

??8c－22c??2c－1?

2－1＝

2c－1. 所以ca

. m2

所以当n≥m时，??1?c－2??c?

n－1≤an≤a(n－m)＋am.

m1＋acmm－

所以当n>am时，??c－1??n－1>cc－1c?2?a(n－m)＋am，矛盾．m2－am所以c≤1

2

.

因为a2

2

c2222

5n＋1＝an＋2c＋a2≤an＋2c＋c≤an＋，

n4

累加得a22

55n－1n≤a1＋4(n－1)＝4，

所以a5n－1n≤

2

. 7

真题体验

1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 答案 －63

解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)．

当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.

∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，

∴Sa1?1－qn?－1?1－2n?nn＝1－q＝1－2

＝1－2，

∴S6

6＝1－2＝－63.

2．(2017·浙江)已知数列{x*

n}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N)． 证明：当n∈N*

时， (1)0

xnxn＋1

2

；

(3)11

2n－1≤xn≤2

n－2. 证明 (1)用数学归纳法证明xn>0. 当n＝1时，x1＝1>0.

假设当n＝k(k∈N*

)时，xk>0， 那么当n＝k＋1时，若xk＋1≤0，

则00， 因此x*

n>0(n∈N)．

所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0

n＋1

xnxn＋1－4xn＋1＋2xn

＝x2

n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．

记函数f(x)＝x2

－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)．

8