2018-2019学年福建省三明市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

得a?b?a?b?22?i?3?9i，

??a?3?a?3∴?，解得． ?22??b?4?b?a?b?9∴z?3?4i；

（2）由题意，A?c,2?c?,?0,0? ，B，O的坐标分别为?3,4?，∴OA??3,4?，OB??c,2?c?，

∵?AOB是直角，∴3c?4?2?c??0，即c?8． 【点睛】

本题考查复数的运算，复数模长的表示，向量垂直的坐标表示，属于简单题. 20．观察以下等式： 13＝12

13+23＝（1+2）2 13+23+33＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2

（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明． （2）设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，求S10．

33332

【答案】（1）猜想1+2+3+…+n＝（1+2+3+…+n）；证明见解析（2）3080

【解析】（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当n?1时，证明成立，假设n?k时，式子也成立，然后对n?k?1时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对an进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案. 【详解】

33332（1）猜想1+2+3+…+n＝（1+2+3+…+n）；

证明：当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

33332

假设n＝k时，1+2+3+…+k＝（1+2+3+…+k），

3333323

当n＝k+1时，1+2+3+…+k+（k+1）＝（1+2+3+…+k）+（k+1）

?k?k?1??3 ???k?1????2?2k2?4k?4 ??k?1??42第 13 页 共 20 页

??k?1??k?2?????

2??2??1?2?????k?1?，

可得n＝k+1时，猜想也成立，

33332

综上可得对任意的正整数n，1+2+3+…+n＝（1+2+3+…+n）； 3

（2）数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n+n，

2S10＝（13+23+…+103）+（1+2+3+…+10）＝（1+2+…+10）2?2

＝55+55＝3080．

10?11 2【点睛】

本题考查数学归纳法的证明，数列分组求和，属于中档题.

21．脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在[0.1，0.3）的脐橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质，随机摘取100个脐橙进行检测，其重量分别在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，经统计得到如图所示频率分布直方图

（1）将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，求恰有3个是“精品果”的概率．

（2）现从摘取的100个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为[0.4，0.5），[0.5，0.6）的脐橙中随机抽取10个，再从这10个抽取3个，记随机变量X表示重量在[0.5，0.6）内的脐橙个数，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）

5（2）见解析 16【解析】（1）根据题意，先得到随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为0.5，并且随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数符合二项分布，再根据二项分布的概率公式，列出式子，得到答案.（2）先判断出X可取的值为0，1，2，3，分别计算出其概率，然

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后列出概率分布列，再根据随机变量的数学期望公式，计算出其数学期望. 【详解】

（1）从从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，其中“精品果”的个数记为Y， 由图可知，随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为：0.2+0.3＝0.5， ∴Y～B（5，

1）， 212125． 16∴随机摘取5个脐橙，恰有3个是“精品果”的概率为： P（Y＝3）?C5()()?332 （2）依题意，抽取10个脐橙，重量为[0.3，0.4），[0.4，0.5）的个数分别为6和4，X的可能取值为0，1，2，3，

213C6C41C61?， P（X＝0）?3?，P（X＝1）?3C102C106123C6C4C431???P（X＝2）?PX3，（＝）， 33C1010C1030∴X的分布列为： X P

E（X）?0?【点睛】

本题考查满足二项分布的概率问题，以及随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题.

22．近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．

0 1 2 3 1 61 23 101 3011316?1??2??3??． 6210305第 15 页 共 20 页

由统计图表可知，可用函数y＝a?b拟合y与x的关系 （1）求y关于x的回归方程；

（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次． 附：①参考数据

x

x y v ?i?17xi2 ?xy iii?17?xv iii?174

360 2.30 140 14710 71.40 17表中vi＝lgyi，v??lgyi

7i?1②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu

?的斜率和截距的最小二乘估计分别为β??【答案】（1）y＝1010000人次

0.25x+1.3

ni?1iin2i?1iuv?nuvu?nu2，α?v??u．

；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过

【解析】（1）先对y＝a?b两边同取以10为底的对数，得到v＝xlgb+lga，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb和lga，从而得到a,b，再写出y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到10到答案. 【详解】

x

（1）由y＝a?b，两边同时取以10为底的对数，

0.25x+1.3

x

＞10000，解出x的范围，得

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