应用运筹学补充练习题参考答案

《应用运筹学》补充练习题参考答案

1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。该店在每月月初进货一次。已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：

月份 进货单价（元/件） 销售单价（元/件） 1月 8 9 2月 6 8 3月 9 10 现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性

规划模型。

解：设Xi是第i个月的进货件数，Yi是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z是总利润，于

是这个问题可表达为： 目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3

约束条件： 200+X1≤500

200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束

200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500

200+X1-Y1≥ 0

200+X1-Y1+X2-Y2≥ 0 月末库存约束

200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0 X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0 EXCEL求解最优解结果：X1*= 300 ，X2*=500 ，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0，Y3*=500,

Z*=4100 2、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。把这个问题表示成一个线性规划问题

车间 甲 乙 丙 丁 生产能力（小时） 100 150 80 200 生产率（件数/小时） 部件１ 10 15 20 10 部件２ 15 10 5 15 部件３ 5 5 10 20 解：设Xij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。

最终的目的是Y要满足条件： min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42，5X13+5X23+10X33+20X43} 可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型： 目标函数： Max Z = Y

约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41

Y≤15X12+10X22+5X32+15X42 Y≤5X13+5X23+10X33+20X43 X11+X12+X13≤100

X21+X22+X23≤150

X31+X32+X33≤80 X41+X42+X43≤200

Xij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）, Y≥0

EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X13*=， X21*=， X22*=， X23*= X31*= ，X32*= ，X33*=， Y* =

3、一个投资者打算把它的100000元进行投资，有两种投资方案可供选择。第一种投资保证每１元投资一年后可赚７角钱。第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。假设每年年初都可投资。为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。 解：设Xi1和Xi2是第一种方案和第二种方案在第i年年初的投资额（i =1, 2, 3），Z是总利

润，于是这个问题的线性规划模型是：

目标函数：Max Z= 2X22+0.7X31 （第三年年末的收益为当年第一方案和第二年第二方案的收益） 约束条件： X11+X12≤100 000 (第一年年初总投资额不超过计划投资额)

X21+X22≤1.7X11 （第二年年初投资额不超过第一年第一方案投资收回的本利值） X31≤3X12+1.7X21 （第三年年初投资额不超过第二年年底收回的本利值） Xi1，Xi2≥0（i=1，2，3） EXCEL求解最优解结果：X11*= ，X12*= ，X21*=， X22*=， X31*=， Z*= 4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。 出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。

解：设X1，X2分别是产品A，产品B的产量，X3是副产品C的销售量，X4是副产品C的

销毁量，Z是总利润，于是这个问题的线性规划模型是： 目标函数：Max Z=4X1+10X2+3X3—2X4 约束条件： 2X2= X3+X4

X3≤5 2X1+3X3≤16 3X1+4X2≤24

X1，X2，X3，X4≥0

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， Z*= 5、考虑下面的线性规划问题：

目标函数：Max Z=30X1+20X2 约束条件： 2X1+ X2≤40

X1+X2≤25 X1，X2≥0

用图解法找出最优解X1和X2。

解：图解法结果如下，最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650

X2 60 40 30 20 10 2X1+X2=40 最优解：X1*=15; X2=10; Z*=650 5 0 可行域 X1+ X2=25 20 30 40 60 5 10 X1

6、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。其中B工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。问应如何安排生产才能获利最大？试建立线性规划模型。 产品单耗 日供应量 单位成本 甲 乙 数量 单位 数量 单位 A 2 1 80 工时 6 元/工时 工序 B1 3 - 60 工时 2 元/工时 B2 1 4 70 5 工时 元/工时 C 3 12 300 米 2 元/米 D 5 3 100 1 原材料 件 元/件 E 4 1.5 150 4 千克 元/千克 其他费用（元/件） 26 29 80 100 单价（元/件） 解：设甲、乙两种产品分别生产X1，X2件，其中，甲产品在B1设备上加工X3工时、在

B2设备上加工X4工时，则获利为：

Z=80X1+100X2-6(2X1+X2)-2X3-5*(X4+4X2)-2*(3X1+12X2)-1*(5X1+3X2)-

4*(4X1+1.5X2)-26X1-29X2 化简后得到： 目标函数：Max Z=15X1+12X2－2X3－5X4

s.t. 2X1+X2≤80

X3≤60 4X2+X4≤70 3X1+12X2≤300 5X1+3X2≤100 4X1+1.5X2≤150 X1≤30

1X3 X1=+X4 (B1每工时完成件甲产品，共X3个工时，B2完成X4件)

33Xj≥0, j=1,2,3,4

EXCEL求解最优解结果：X1*= ，X2*= ，X3*=， X4*= , Z*= 7、制造某机床需要A、B、C三种轴，其规格和需要量如下表所示。各种轴都用长5.5米长的圆钢来截毛坯。如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。

轴类 A B C 规格：长度（米） 3．1 2．1 1．2 每台机床所需件数 1 2 4 解：用5.5米圆钢截所需规格长度的所有各种可能性如下表所示：

轴件（j） 1 2 3 4 5 所截各种轴件数量 A（3.1） B（2.1） C（1.2） 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 2 4 剩余料头（m） 0.3 0 0.1 1.0 0.7 所需圆钢的量 X1 X2 X3 X4 X5 设按第j种截法截Xj根圆钢，则相应的线性规划模型为： 目标函数： Min Z =?X j

j?15s.t: X1+X2 ≥100

X1+ 2X3+ X4 ≥200 2X2+ X3+2X4+4X5≥400 xj≥0且为整数（j=1,2.....,5）

EXCEL求解最优解结果：X1*= 0 ，X2*=100 ，X3*= 100 , X4*= 0 , X5*= 25 , Z*= 225 8、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米3，由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。贮存费为a+bu，其中a=7元/米3，b=10元/米3，u为贮存的季度数。由于木材久贮易损，因此当年所有库存应于秋末售完。各季木材单价及销量如下表所示。为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立线性规划模型。

季节 冬 春 夏 秋 购进价（元/米3） 310 325 348 340 售出价（元/米3） 321 333 352 344 最大销售量（万米3） 10 14 20 16 解：设Yi（i=1,2,3,4）分别为冬，春，夏，秋四季采购的木材量（单位：m3），Xij（i，j=1，

2，3，4）代表第i季节采购用于第j季节销售的木材量（m3），因此，

冬季以310元/ m3购入Y1, 当季以321元/ m3卖出X11,同时，以7+10*1的成本存储

到春季出售的有X12,以7+10*2的成本存储到夏季出售的有X13, 以7+10*3的成本存储到秋季出售的有X14；同样地，春季购入 ......。