高中物理专题法拉第电磁感应定律题型总结

专题(九) 电磁学与电磁感应综合

三、考点透视

1．电磁感应中的力和运动 例题1．（2008年天津理综25题）磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l，平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图1所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B0，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为v(v

z (1)简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；

B (2)为使列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的y Q M B0 什么位置及λ与d之间应满足的关系式：

(3)计算在满足第(2)问的条件下列车速度为v时驱动力的大

x O x O 小。 λ 2λ l 【解析】 -B0 图1 N （1）由于列车速度与磁场平移速度方向相同，导致穿过金属图2 d P 框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到安培力即为驱动力。

（2）为使列车获得最大驱动力，MM、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致线框中电流最强，也会使得金属框长边中电流收到的安培力最大，因此，d应为

?2的奇数倍，即

d?(2k?1)?2或??2d2k?1(k?N)①

（3）由于满足（2）问条件，则MM、PQ边所在处的磁感应强度大小均为B0且方向总相反，经短暂的时间Δt，磁场沿Ox方向平移的距离为v0Δt，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt。因为v0>v，所以在Δt时间内MN边扫过磁场的面积

S=（v0-v）lΔt，在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通量移进金属框而引起框内磁通量变化ΔΦMN = B0l（v0-v）Δt② 同理，该Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化ΔΦPQ = B0l（v0-v）Δt③。故在Δt内金属框所围面积的磁通量变化ΔΦ = ΔΦMN +ΔΦPQ④。根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小E?根据闭合电路欧姆定律有I????t⑤

ER⑥，根据安培力公式，MN边所受的安培力FMN = B0Il，PQ边所受的安培力FPQ = B0Il

根据左手定则，MM、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小F = FMN + FPQ = 2 B0Il⑦。联立解得

F?4B0l(v0?v)R22⑧．

2．电磁感应与电路的综合

例题2．在磁感应强度为B=0.4 T的匀强磁场中放一个半径r0=50 cm的圆形导轨，上面搁有互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω=103 rad/s逆时针匀速转动.圆导轨边缘和两棒中央通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻为R0=0.8 Ω，外接电阻R=3.9 Ω，如所示，求：

（1）每半根导体棒产生的感应电动势.（2）当电键S接通和断开时两电表示数（假定RV→∞，RA→0）. 解析：（1）每半根导体棒产生的感应电动势为E1=Blv=

12Bl2ω=

12×０.4×103×（0.5）2 V＝50 V.

（2）两根棒一起转动时，每半根棒中产生的感应电动势大小相同、方向相同（从边缘指向中心），相当于四个电动势和内阻相同的电池并联，得总的电动势和内电阻为E＝E1＝50 V，r=

14?12R0＝0.1 Ω，当电键S断开时，外电路开路，电流表示数为零，

电压表示数等于电源电动势，为50 V.，当电键S′接通时，全电路总电阻为：R′=r+R=（0.1+3.9）Ω=4Ω.，由全电路欧姆定律得电流强度（即电流表示数）为：I＝

Er?R??504 A=12.5 A.

此时电压表示数即路端电压为：U=E-Ir=50-12.5×0.1 V＝48.75 V（电压表示数）或U＝IR＝12.5×3.9 V＝48.75 V. 3．电磁感应中的图象问题

例题（2008年全国I）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图所示。若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是( )

1

解析：0-1s内B垂直纸面向里均匀增大，则由楞次定律及法拉第电磁感应定律可得线圈中产生恒定的感应电流，方向为逆时针方向，排除A、C选项；2s-3s内，B垂直纸面向外均匀增大，同理可得线圈中产生的感应电流方向为顺时针方向，排除B选项，D正确。

4．电磁感应中的能量转化 例题3．（07江苏物理卷18题）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求 （1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F．

（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q． （3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n．

解析：（1）线框MN边刚开始进入磁场区域时，感应电动势E?BLv0，感应电流 I?ER力 F?BlI，联立解得 F?2.8N．（2）设线框竖直下落时，线框下落了H，速度为vH，根据

，安培

能量守恒定律有： mgH?12mv0?Q?2122mvH，根据自由落体规律有：vH?2gH，解得Q?212mv0?2.45J．

2（3）只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势．线框部分进入磁场区域x时，感应电动势E?Blv，感应电流I?ER2，安培力F?BlI，解得F?v?t?BlR222v．在t?t??t时间内由动量定理得?F?t?m?v，求和

?BlR2?BlR22?x?mv0，解得

BlR2x?mv0，穿过条形磁场区域的个数为n?x2l，解得n?4.4．可穿过4个完

整条形磁场区域．答案：（1）F?2.8N （2）2.45J （3）4个

四、热点分析

例题4．如图所示，MN、PQ为平行光滑导轨，其电阻忽略不计，与地面成30°角固定．N、Q间接一电阻R′=10Ω，M、P端与电池组和开关组成回路，电动势E=6V，内阻r=1.0Ω，导轨区域加有与两导轨所在平面垂直的匀强磁场．现将一条质量m=10g，电阻R=10 Ω的金属导线置于导轨上，并保持导线ab水平．已知导轨间距L=0.1m，当开关S接通后导线ab恰静止不动． （1）试计算磁感应强度的大小．（2）若某时刻将电键S断开，求导线ab能达到的最大速度．（设导轨足够长） 解析：（1）导线ab两端电压 U?R并R并?rE?55?1导线ab中的电流I??6V=5V，

mgsin30?ILUR?0.5A ，

导线ab受力如图所示，由平衡条件得 BIL?mgsin30?，解得B?，代入数值得B

=1T．（2）电键S断开后，导线ab开始加速下滑，当速度为v时，产生的感应电动势为E??BLv，导线ab中的感应电流I??BLvmR?R?22E?R?R?A，导线ab受的安培阻力F??BI?L?BLvR?R?22．当导线ab达到最大速度时，

（1）B =1T （2）vm?100m/s ?mgsin30?，代入数值解得vm?100m/s．答案：

例题5．如图所示，（a）是某人设计的一种振动发电装置，它的结构是一个半径为r＝0.1 m的有20匝的

线圈套在辐向形永久磁铁槽中，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布［其右视图如图（b）］．在线圈所在位置磁感应强度B的大小均为0.2 T．线圈的电阻为2Ω，它的引出线接有8Ω的电珠L，外力推动线圈的P端，作往复运动，便有电流通过电珠．当线圈向右的位移随时间变化的规律如图所示时（x取向右为正）：

2

（1）试画出感应电流随时间变化的图象（取逆时针电流为正）． （2）求每一次推动线圈运动过程中的作用力． （3）求该发电机的功率．（摩擦等损耗不计）

解析：（1）从图可以看出，线圈往返的每次运动都是匀速直线运动，其速度为v??x?t

?0.080.1E

m/s?0.8m/s，线圈做切割磁感线运

?28?2A?0.2A动产生的感应电动势E?n2?rBv?20?2?3.14?0.1?0.2?0.8V?2V，感应电流 I?．由右手定则可

R1?R2得，当线圈沿x正方向运动时，产生的感应电流在图（a）中是向下经过电珠L的．故可得到如图所示的电流随时间变化的图象． （2）由于线圈每次运动都是匀速直线运动，所以每次运动过程中推力必须等于安培力． F推?F安?nILB?nI(2?r)B?20?0.2?2?3.14?0.1?0.2?0.5(N)．

（3）发电机的输出功率即灯的电功率，所以P?I2R2?(0.2)2?8W?0.32W．答案：（1）图见解答 （2）0.5N （3）0.32W． 例题：将一个矩形金属线框折成直角框架abcdefa，置于倾角为α=37°的斜面上，ab边与斜面的底线MN平行，如图所示．ab?bc?cd?ef?fa?0.2m，线框总电阻为R=0.02Ω，ab边的质量为m= 0.01 kg，其余各边的质量均忽略不计，框架可绕过c、f点的固定轴自由转动，现从t=0时刻开始沿斜面向上加一随时间均匀增加的、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度与时间的关系为B= 0.5t T，磁场方向与cdef面垂直．（cos37°=0.8，sin37°=0.6） （1）求线框中感应电流的大小，并在ab段导线上画出感应电流的方向；

（2）t为何值时框架的ab边对斜面的压力为零?

???B?cd?de?0.02V，所以感应电流I?E?1.0A，根据楞次定（1）由题设条件可得：E??t?tRe M B N a f d c 律可判断，感应电流的方向从a→b．

（2）ab边所受的安培力为FB?BI?ab?0.1t，方向垂直于斜面向上，当框架的ab边对斜面

b α

的压力为零时，由平衡条件得FB?mgcos37?，由以上各式并代入数据得：t=0.8s．答案：t=0.8s 五、能力突破

例题1：曾经流行过一种自行车车头灯供电小型交流发电机，下图其结构示意图．图中N、S是一对固定的磁极，abcd为固定在转轴上的矩形线框，转轴过bc边中点，与ab边平行，它的一端有一半径ro=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘相接触，如图所示．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而使线圈在磁极间转动．设线框由N=800匝导线圈组成，每匝线圈的面积S=20cm2．磁极间的磁场可视作匀强磁场，磁感强度B=0.010T,自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm．现从静止开始使大齿轮加速转动，问大齿轮的角速度为多大才能使发电机输出电压的有效值U=32V?（假设摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动） 解析：当自行车车轮转动时，通过摩擦小轮使发电机的线框在匀强磁场内转动，线框中产生一正弦交流电动势，其最大值：εm=NBS

0

，式中ω0为线框转动的角速度，即摩擦轮转动的角速度．发电机两端电压的有效值：U=

22εm 设自行车车轮的角速度为ω1，

由于自行车车轮摩擦小轮之间无相对滑动，有：R1ω1=R0ω0 ，小齿轮转动的角速度与自行车转动的角速度相同，也为ω1．设大齿轮的角速度为ω，有：R3ω=rω1 由以上各式得：ω=

2UNBS?R2r0R3R1代入数据得：ω=3.2rad/s

例题6．在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度 v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为△Ek，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的有（） A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2＞v1

3

B．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒

C．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程，有（W1－△Ek）机械能转化为电能

D．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小为△Ek= W1－W2

解析： 当线框的ab边进入GH后匀速运动到进入JP为止，ab进入JP后回路感应电动势增大，感应电流增大，因此所受安培力增大，安培力阻碍线框下滑，因此ab进入JP后开始做减速运动，使感应电动势和感应电流均减小，安培力又减小，当安培力减小到与重力沿斜面向下的分力mgsinθ相等时，以速度v2做匀速运动，因此v2

例题：如图所示，两条水平虚线之间有垂直于纸面向里，宽度为d，磁感应强度为B的匀强磁场．质量为m，电阻为R的正方形线圈边长为L（L< d），线圈下边缘到磁场上边界的距离为h．将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时刻的速度都是v0，则在整个线圈穿过磁场的全过程中（从下边缘进入磁场到上边缘穿出磁场），下列说法中正确的是 （ ） A．线圈可能一直做匀速运动 B．线圈可能先加速后减速

C．线圈的最小速度一定是mgR／B2L2 D．线圈的最小速度一定是2g?h?d?L?

解析： 由于L＜d，总有一段时间线圈全部处于匀强磁场中，磁通量不发生变化，不产生感应电流，因此不

L h B

d 受安培力，而做自由落体运动，因此不可能一直匀速运动，A选项错误．已知线圈下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时刻的速度都是v0，由于线圈下边缘到达磁场下边界前一定是加速运动，所以只可能是先减速后加速，而不可能是先加速后减速，B选项错误．mgR/B2L２是安培力和重力平衡时所对应的速度，而本题线圈减速过程中不一定能达到这一速度，C选项错误．从能量守恒的角度来分析，线圈穿过磁场过程中，当线圈上边缘刚进入磁场时速度一定最小．从开始自由下落到线圈上边缘刚进入磁场过程中用动能定理，设该过程克服安培力做的功为W，则有：mg（h＋L）－W＝

12mv2．再在线圈下边缘刚进入磁场到刚穿出磁场过程

中用动能定理，该过程克服安培力做的功也是W，而始、末动能相同，所以有：mgd－W＝0．由以上两式可得最小速度v＝

2g?h?d?L?．所以D选项正确。答案：D

例题7．如图所示，abcd为一个闭合矩形金属线框，已知ab长L1=10cm，bc长L2=20cm，内阻R=0.1Ω．图中虚线O1O2为磁场右边界（磁场左边界很远）．它与线圈的ab边平行，等分bc边，即线圈有一半位于匀强磁场之中，而另一半位于磁场之外．磁感线方向垂直于线框平面向里，磁感应强度B=0.1T．线框以ab边为轴以角速度ω=100πrad/s匀速转动，t=0时刻位置

如图所示，在图右边的坐标系上定性画出转动过程中线圈内感应电流随时间变化的图象（只要求画出一个周期）．

解析： 当线圈从图示位置转过90°时，感应电动势和电流获得最大值：Em=BSω，Im=Em/R，代入数据得Im=2πA，线圈转动周期T=2π/ω=0.02s.。在线圈从图示位置起转动的一个周期中，最初T/6和最后T/6内由于穿过线圈的磁通量保持不变，因此在这两段时间内线圈中没有感应电流，而在中间2T/3时间内，感应电流按正弦规律变化，并且磁场的有界不影响感应电流的最大值和周期．所以只要将线圈在无界磁场中转动一周的正

a O2 b O1 c o O d B i t O 2π i/A t/s 0.02 弦交流电图象截去前T/6和后T/6部分，便得所要求作的图象，如图所示． O 0.01

-2π 八、专题专练

一、选择题（多选）

1. 水平放置的金属框架ｃｄｅｆ处于如图1所示的匀强磁场中，金属棒ａｂ置于光滑的框

架上且接触良好，从某时刻开始磁感应强度均匀增加，现施加一外力使金属棒ａｂ保持静止，则金属棒ａｂ受到的安培力是（ ）

Ａ.方向向右，且为恒力B.方向向右，且为变力Ｃ.方向向左，且为变力Ｄ.方向向左，且为恒力

4