2005年高考理科数学试题及答案(湖北)

P(??2)?(1?0.6)?0.7?0.28.

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P(??3)?(1?0.6)?(1?0.7)?0.8?0.096.

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

P(??4)?(1?0.6)?(1?0.7)?(1?0.8)?0.024.

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024 ∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为

1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.

20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、

B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，

1，1）， 2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为θ，则

cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 14∴AC与PB所成角的余弦值为

37. 14 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则

1NE?(?x,,1?z)，由NE⊥面PAC可得，

2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33. ,0,1)，从而N点到AB、AP的距离分别为1，

66即N点的坐标为(解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=

17PB?, 22AE?15PD?, 2275?44?37. ∴cosEOA?1472??121?即AC与PB所成角的余弦值为

37. 14 （Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则?ADF??6.

连PF，则在Rt△ADF中DF?AD233?,AF?ADtanADF?.

cosADF33设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC. ∴N点到AB的距离?113AP?1，N点到AP的距离?AF?. 22621．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x?y??，整理得

22(k2?3)x2?2k(k?3)x?(k?3)2???0. ①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?

222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得 2k?3x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.

解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0. 解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

22??3x1?y1?? ??(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0. 22??3x2?y2?? 依题意，x1?x2,?kAB??3(x1?x2).

y1?y2∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1?x2?2,y1?y2?6,从而kAB??1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴??3?12?32?12,

∴?的取值范围是（12，+∞）. 直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 4x2?4x?4???0.

又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根， ∴x3?x4??1,且x0?11313(x3?x4)??,y0?x0?2?,即M(?,). 22222于是由弦长公式可得 |CD|?1?(?)?|x3?x4|?1k22(??3). ④

2将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x?8x?16???0 ⑤

2同理可得 |AB|?1?k?|x1?x2|?2(??12). ⑥

∵当??12时，2(??3)?2(??12),?|AB|?|CD|

假设存在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.

13|???4||x0?y0?4|32?22?. ⑦ 点M到直线AB的距离为 d?222于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB29??12??3CD2|????||. 22222|CD|

故当?>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.

2|MA|2?|MB|2?d2?| （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，

即 (|AB|2|CD||CD|)?(?d)(?d). ⑧ 222

由⑥式知，⑧式左边???122,

由④和⑦知，⑧式右边?(2(??3)322(??3)32??39??12?)(?)???, 2222222∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y?3?x?1，代入椭圆方程，整理得

4x2?4x?4???0. ③

将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得

4x2?8x?16???0. ⑤

解③和⑤式可得 x1,2?2???12?1???3,x3,4?.

22不妨设A(1?1??12,3?1??12),C(?1???3,3???3),D(?1???3,3???3)

222222∴CA?(3???12???33???3???12,)

22DA?(3???12???33???3???12,)

22计算可得CA?DA?0，∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）

22．本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当n?2时,0?an?nan?11n?an?111,????,

n?an?1annan?1an?1n即

111??, anan?1n111111111??,??,?,??. a2a12a3a23anan?1n11111??????. ana123n于是有

所有不等式两边相加可得