2005年高考理科数学试题及答案(湖北)

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离. 21．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭

22圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）

22．（本小题满分14分）

已知不等式

1111?????[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整23n2nan?1,n?2,3,4,?

n?an?1数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1?b(b?0),an? （Ⅰ）证明an?2b,n?3,4,5,?

2?b[log2n]（Ⅱ）猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n?N时，对任意b>0，都有an?

1. 52005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学试题卷（理工农医类）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分. 13．[－6，2] 14．

632 15．－2 16．500 2三、解答题

17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质

分析和解决问题的能力。

解法1：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t,

232则f?(x)??3x2?2x?t.

若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.

?f?(x)?0?t?3x2?2x,在区间(?1,1)上恒成立,考虑函数g(x)?3x2?2x, 1由于g(x)的图象是对称轴为x?,3开口向上的抛物线，故要使t?3x2?2x在区间（－1，1）上恒成立?t?g(?1),即t?5.

而当t?5时,f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.

故t的取值范围是t?5.

解法2：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t,

f?(x)??3x2?2x?t.若f(x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f?(x)?0.?f?(x)的图象是开口向下的抛物线，

?当且仅当f?(1)?t?1?0,且f?(?1)?t?5?0时

f?(x)在(?1,1)上满足f?(x)?0,即f(x)在(?1,1)上是增函数.故t的取值范围是t?5.

18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.

解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=在△BDE中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，

126AB?,设BE?x, 2382665?x2??2??x,

3367解得x?1,x??(舍去),3故BC?2,从而AC2?AB2?BC2?2AB?BCcosB?即AC?221,328,3

22130270又sinB?,故?3,sinA?.6sinA14306

解法2：

以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

由sinB?304646445,则BA?(cosB,sinB)?(,),633334?3x25设BC?(x,0),则BD?(,). 634?3x2252)?()?5.63由条件得|BD|?(从而x?2,x??14(舍去).3245故CA?(?,),

33于是cosA?BA?CA|BA||CA|?880?31499?,141680480?? 9999??sinA?1?cos2A?70.14解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC， 过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=

445,AH?, 33BN?BP2?PN2?BP2?AH2?(25)2?(2,AC?32212故由正弦定理得?3,sinA30670?sinA?.14?BC?BN?CN?2,HC?452104)?,而CN?HB?,333221.3

AH2?HC2?19．本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知识解决实际问题

的能力.

解：?的取值分别为1，2，3，4.

??1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（??1）=0.6.

??2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故