2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第六章第2节 等差数列及其前n项和(含解析)

第2节 等差数列及其前n项和

考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

a＋b(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝2. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. n（n－1）dn（a1＋an）(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 223.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n[常用结论与微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.

诊 断 自 测

?Sn?

项和，则数列?n?也为等差数列.

??

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )

解析 (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A.31

B.32

C.33

D.34

??a1＋5d＝2，

解析 由已知可得?

??5a1＋10d＝30，

26a?1＝，?38×7解得?∴S8＝8a1＋2d＝32.

4d＝－??3，答案 B

3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝6，则S7＝( ) A.8

B.12

C.14

D.18

1

解析 a3＋a4＋a5＝3a4＝6，∴a4＝2，S7＝2×7×(a1＋a7)＝7a4＝14. 答案 C

4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A.－12

B.－10

C.10

D.12

3解析 设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－2a1.又a1＝2，∴d＝－3，

∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B

5.(2020·上饶模拟)已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝( ) 2A.－9

2B.9

2C.－3

2D.3

11

解析 因为S10＝2×10×(a1＋a10)＝2×10×(a1＋10)＝70，所以a1＝4，因为a10＝2

a1＋9d＝10，所以d＝.

3答案 D

S10

6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0，a2＝3a1，则S＝

5

________.

解析 由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，