现代控制理论教案

第四节 线性连续系统的稳定性

【教学目的】 掌握李亚甫诺夫第二法判断线性连续及离散系统的稳定性。 【教学重点】 连续系统李亚甫诺夫方程 【教学难点】 离散系统李亚甫诺夫方程 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 4-4、4-5、4-6 【学时分配】 2学时 【教学内容】

设系统状态方程为 x?Ax

假定A是非奇异矩阵，这时系统存在唯一的平衡状态xe?0。李亚甫诺夫函数V(x)为状态变量x的二次型形式，即

?V(x)?xTPx (4-7)

其中P为n?n型正定的对称常值矩阵。显然有

?TTV(x)?0,x?0

V(x)?0,x?0?V(x)?x(AP?PA)x，当要求xe?0为渐近稳定时，V(x)应为负定的。令

V(x)??xTQx (4-8)

?式中的Q阵为正定对称矩阵且满足ATP?PA??Q，式4-8称为李亚甫诺夫方程。且Q是正定矩阵。式(4-8)称为李亚甫诺夫方程。因为Q是正定短阵，则V(x)＜0，这就意味着沿x?Ax的任意轨线x（t），V(x)随时间单调减小，当t??时，V(x)最终将趋于零。根据李亚甫诺夫稳定性定理4．1可知，xe?0是一致渐近稳定的。因为是线性系统，故xe?0是一致大范围渐近稳定的。

在运用李亚甫诺夫方程（4—8)判别系统xe?0的稳定性时，先指定正定阵Q，再按式(4-7)求出P阵，然后检查P阵的正定性。由于Q阵的形式可以任意给定，并且最终的判断结果与正定阵Q的不同选择无关。故最方便也是最简单的选择是选取Q＝I(单位阵)。这时李亚南诺夫方程就成为 ATP?PA??I (4—20)

根据式(4-7)求出P阵，用赛尔维斯特判据来检验其正定性，当P阵是正定阵时，则xe?0为一致渐近稳定的，并且是一致大范围渐近稳定的。详细讲解例4-6。

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??线性定常离散系统的稳定性

线性定常离散系统的状态方程为

x(k?1)?Gx(k) （4-9）

xe?0是系统的平衡状态。下面用李亚甫诺夫第二法来研究系统xe?0的渐近稳定性问题。

对于式(4—21)描述的线性定常离散系统。假设G为n?n型奇异常阵，xe?0是唯一的平衡状态。选取李亚甫诺夫函数为 V[x(k)]?xT(k)Px(k) 式中，P为n?n正定的对称常值短阵。 显然有 V[x(k)]＞0，x(k)?0

V[x(k)]?0 x(k)?0 而V[x(k)]的差分为

?V[x(k)]??xT(k)Qx(k)

式中Q为正定对称常阵。而GTPG?P??Q （4-23）

称为李亚甫诺夫方程。与线性定常连续系统类似，判别系统xe?0的渐近稳定性时，通常是给出一个正定对称常P，然后用式(4．23)求出P阵，并验证其正定性。如果P阵是正定的，则xe?0为一致渐近稳定的，且是一致大范围斯近稳定的。讲解书上例4-7。

小 结 稳定性与能控性、能观测性一样都是系统的重要特性。本章介绍了李亚甫诺夫意义下稳定性的定义和李亚甫诺夫第二法分析系统平衡状态稳定性的定理，同时介绍了线性定常系统零状态响应的稳定性及其与平衡状态稳定性的关系，即平衡状态渐近稳定包含了BIBO稳定，而BIBO稳定的系统未必是平衡状态惭近稳定，只有当系统能控又能观测时，BIBO稳定的系统才是平衡状态渐近稳定。 线性定常系统的稳定性可以由传递函数的极点或由A的特征值来分析。也可以用李亚甫诺夫第二法来分析。应该指出，到目前为止，还没有构造李亚甫诺夫函数的一般方法，而靠经验与技巧。由于李亚甫诺夫第二法给出的结果是非线性系统稳定性的充分条件，所以，对某个系统而盲，构造不出李亚甫诺夫函数，我们不能说，该系统不稳定，只能说，无法提供有关系统稳定性的信息。

稳定性分析方法同样可应用到离散系统中去。只是线性离散系统的李亚甫诺夫方程形式和线性连续系统略有不同。

实验二 能控能观判据及稳定性判据

【实验目的】 借助Matlab工具在计算机上实现能控性及能观性判据 【实验重点】 李亚甫诺夫稳定性判据

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【实验难点】 能控性、能观性判据 【教学方法及手段】 上机实验。

【课外作业】认真写实验报告，复习巩固实验内容 【学时分配】2学时

第五章 线性定常系统的综合

第一节 引 言 第二节 状态反馈和输出反馈

【教学目的】掌握状态反馈及输出反馈的概念 【教学重点】 状态反馈的意义 【教学难点】 状态反馈的的作用 【教学方法及手段】课堂教学 【课外作业】复习所讲内容 【学时分配】2学时 【教学内容】

在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先涵量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从而构成状态反馈系统。对状态反馈系统来说，能控性和能观测性同祥具有很重要的意义。采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一。同时研究一个能控的系统，引入状态反蚀可以任意配置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的瞬态性能和稳态性能；对于系统的状态变量无法测量但又要用它来实现反馈的情况，将介绍在系统朗观测条件下，通过状态重构方法。设计状态观测器。用重构状态实现状态反馈。本章还将研究用状态反馈进行系统解耦。

在经典控制理论中，利用系统的输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较满意的系统性能；减小于扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此，输出反馈控制得到了广泛的应用。在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。这里采用的反馈控制有状态反馈和输出反馈两种。 一、状态反馈

线性定常系统方程为

x?Ax?Bu （5-1）

y?Cx?Du其中状态x、输入u和输出y分别为n、r、m维向量。A、B、C、D为满足短阵运算的短阵。

假定有可能设置n个传感器，使全部状态变量均可用于反馈。其反馈控制律为 u=V-Kx (5-2) 其中 K为r?n型反馈增益矩阵;V为r维输入向量。构成的状态反馈系统如图5—1所示。

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?状态反馈系统方程为

x＝Ax十B(V—Kx)＝(A一BK)x+BV

y＝(C—DK)x+DV (5-3) 由方程(5—3)可知： 1)状态反馈不增加新的状态变 量o

2)状态反馈对输入矩阵B和直

接传畅矩阵D无影响o 3)系统的系数矩阵由A变成 (A-BK)。

4)输出矩阵由C变成(C—DK)。

系统的瞬态性能主要由系数矩

阵决定。A、B阵是已知的，不能改 变。K阵可以在一个很宽范围内选 择。因此，通过适当的方法选择反馈 阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。

二、输出反馈

在工程实践中，输出反馈也是常

用的。对方程(5—1)所描述的线性定 常系统，采用输出反馈控制律为

u=V-Hy (5-4) 其中 H为r?m型常值短阵。输出反馈系统的结构图如图5—2所示。

第三节 状态反馈系统的能控性和能观测性

【教学目的】掌握状态反馈对原系统的影响及具体设计方法。 【教学重点】 状态反馈对原系统能观测性及能控性的影响。 【教学难点】 状态反馈的设计 【教学方法及手段】课堂教学 【课外作业】5-1，5-2 【学时分配】2学时 【教学内容】

线性定常系统方程为 x=Ax+Bu

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