2020高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量课时规范练文

2019年

【2019最新】精选高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3

讲平面向量课时规范练文

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120°

解析：||＝1，||＝1，cos ∠ABC＝＝.

因为∠ABC∈[0°，180°]，

所以∠ABC＝30°.

答案：A

2．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”

的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2＜0，因而是充分条

件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．

答案：A

3．(2017·长春中学联考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(4，－2)，且a∥b，则

|a＋b|＝( )

A. B．5 C. D.485 解析：因为a∥b，所以x·(－2)＝1×4，

得x＝－2，

所以a＋b＝(2，－1)，|a＋b|＝＝.

2019年

答案：A

4.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )

B．－9 D．－9 48A．－ C．－

解析：因为＝2，圆O的半径为1，所以||＝， 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝＋0－1＝－.

答案：B

5．(2017·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝

3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )(导学号 55410109)

A．2 B．4 C．6 D．8

解析：令＝a，＝b，则b－a＝－＝，如图，

因为b与b－a的夹角为30°，

所以∠OBA＝30°， 因为|a|＝||＝3， 所以由正弦定理＝

→|OB| 得，|b|＝||＝6·sin ∠OAB≤6.sin ∠OAB 答案：C 二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．

解析：由题意，得－2×3＋3m＝0，

所以m＝2. 答案：2

7．(2017·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量，

的夹角为60°，则||＝________．

解析：向量，的夹角为60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，

2019年

所以

→2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即AO2 答案：

1328．(2017·济南调研)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为

________．

解析：令角A，B，C的对边分别为a，b，c，

则·＝||||cos A＝cbcos A＝tan A，

因为A＝，所以bc＝，即bc＝，

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.

答案：6 三、解答题

9．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.

(导学号 55410110)

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

解：(1)由题意，得|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，

|b|2＝cos2 x＋sin2x＝1， 因为|a|＝|b|，所以4sin2x＝1.

由x∈，从而sin x＝，

所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，

当x＝∈时，sin取最大值1.

所以f(x)的最大值为.

10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos

B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.

(1)求B的大小；

12019年

(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.

解：(1)因为p⊥q，

所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0，

则sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，

即sin2B＝，

又角B是锐角三角形ABC的内角，

所以sin B＝，所以B＝60°.

(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，

所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

又b＝2，所以a2＋c2＝8，②

取立①②，解得a＝c＝2.

11．(2017·淄博诊断)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω＞0)，与

f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号 55410111)

(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；

(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝1，若向量

m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值． 解：(1)f(x)＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，

由于f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，

得·＝－＝，

所以ω＝1，则f(x)＝sin.

令z＝2x－，函数y＝sin z单调增区间是，k∈Z，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

设A＝， B＝，